2 Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản
2.10. Sự ổn định của tính chất tách
Trong mục này ta nghiên cứu tính chất tách của các borno cơ bản đã được chỉ ra ở trên. Ở đây ta vẫn ký hiệu I là tập chỉ số khác rỗng. Mệnh đề 2.8. Giả sử (Ei,ßi)i∈I là một họ các không gian véctơ borno tách, E là không gian véctơ và với mỗi i ∈ I, ui : E −→ Ei là ánh xạ tuyến tính. Khi đó borno đầu trên E xác định bởi các ánh xạ ui là borno tách khi và chỉ khi với mỗi x ∈ E, x 6= 0,∃i ∈ I : ui(x) 6= 0.
Chứng minh. Điều kiện cần:
Gọi ß là borno đầu trên E xác định bởi các ánh xạ ui
⇒ß = {A ⊂X :ui(A) ∈ ßi,∀i ∈ I}.
Giả sử ß là borno tách, x ∈ E, x 6= 0 ta phải chỉ ra, ∃i ∈ I :ui(x) 6= 0. Thật vậy, vì ß là borno tách hay E là không gian tách nên {0} là không gian con bị chặn duy nhất của E. Do đó dường thẳng L sinh bởi x không bị chặn trong E ⇒ ∃i ∈ I : ui(L) không bị chặn trong Ei.
Mà Ei là không gian tách, ∀i ∈ I ⇒ ∃i ∈ I : ui(x) 6= 0. Điều kiện đủ:
Giả sử, ∀x ∈ E, x 6= 0 ⇒ ∃i ∈ I : ui(x) 6= 0. Khi đó ta phải chứng minh E là không gian tách. Tức là, giả sử M là không gian con bị chặn bất kỳ của E, ta phải chỉ ra M = {0}. Thật vậy, ∀M ∈ ß ⇒ui(M) ∈ ßi,∀i ∈ I
⇒ ui(M) là tập bị chặn trong Ei,∀i ∈ I. Hơn nữa với mỗi i ∈ I, ui(M) là không gian con của Ei. Vì với mỗi, ui(x), ui(y) ∈ ui(M),∀λ ∈ K ta có: (i) ui(x) +ui(y) =ui(x+y) (vì ui là ánh xạ tuyến tính)
⇒ui(x+y) ∈ u(M) (vì M là không gian con) (1). (ii) λui(x) = ui(λx) (vì ui là ánh xạ tuyến tính)
⇒λui(x) ∈ ui(M) (vì M là không gian con) (2).
Từ (1) và (3) ⇒ ui(M) là không gian con của Ei,∀i ∈ I. Vậy ui(M) là không gian con bị chặn trong Ei,∀i ∈ I
⇒ui(M) = {0},∀i ∈ I(3).
Mặt khác, ∀x ∈ E, x 6= 0 ⇒ ∃i ∈ I : ui(x) 6= 0. Mà Mệnh đề này lại tương đương với Mệnh đề sau: ∀i ∈ I :ui(x) = 0 ⇒ ∃x ∈ E : x = 0. Do đó từ (3) suy ra M = {0}.
Vậy E là không gian tách hay borno đầu trên E là borno tách. Hệ quả 2.1. (i) Tích của các không gian véctơ borno tách là tách. (ii) Mọi không gian borno con của không gian véctơ borno tách là tách. (iii) Giao của các không gian véctơ borno tách là tách.
(iv) Giới hạn xạ ảnh của các không gian véctơ borno tách là tách. Mệnh đề 2.9. Giả sử E = lim
−→ (Ei, vji) là giới hạn quy nạp borno của các không gian véctơ borno tách. Nếu tất cả các ánh xạ vji là đơn ánh thì E tách.
Chứng minh. Thật vậy, vì mọi tập hợp bị chặn của E đều là một tập con bị chặn của một trong các không gian tách Ei. Do đó mọi tập con bị chặn của E đều là tập gồm một phần tử {0}. Tức là E là không gian tách. Mệnh đề 2.10. Tổng trực tiếp borno của các không gian véctơ borno tách là tách.
Chứng minh. Theo Mục 2.9.3 thì tổng trực tiếp là giới hạn quy nạp đặc biệt. Nên tổng trực tiếp borno của các không gian véctơ borno tách cũng là giới hạn quy nạp borno của các không gian véctơ borno tách. Do đó theo Mệnh đề 2.9 thì tổng trực tiếp borno của các không gian véctơ borno tách là tách.
Nhận xét 2.8. Nếu E = L
i∈I
Ei trong đó Ei là không gian véctơ borno tách thì phép chiếu pi : E −→Ei bị chặn, ∀i ∈ I.
2.11. Tập đóng borno: Tính chất tách của thương bornoĐịnh nghĩa 2.16. Giả sử E là một không gian véctơ borno. Tập A ⊂ E