2 Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản
2.9.5. Không gian con bù borno
Giả sử E là không gian véctơ borno và M, N là hai không gian con củaE sao choE là tổng trực tiếp đại số củaM vàN. Tức là,E = M L
N. Bây giờ ta trang bị cho M, N các borno cảm sinh bởi E. Khi đó ta nói rằng M và N là các không gian con bù borno của nhau trong E và M
(tương ứng: N) là phần bù borno của N (tương ứng: M) trong E nếu E là tổng trực tiếp borno của M và N.
Mệnh đề 2.7. E là tổng trực tiếp borno của M và N khi và chỉ khi một trong các phép chiếu lên các không gian con M, N là ánh xạ bị chặn.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử E là tổng trực tiếp borno của M và N, gọi pM (tương ứng: pN) là phép chiếu của E lên M (tương ứng: N).
Vì một cơ sở của borno trên E bao gồm các tập có dạng AL
B với A và B lần lượt là các tập bị chặn trên M và N. Do đó, ⇒pM(AL B) = A và pN(AL B) =B. Mà A, B là các tập bị chặn trên M (tương ứng: N) ⇒pM, pN là các ánh xạ bị chặn.
Ngược lại: Giả sử pM bị chặn thì pN cũng bị chặn.
Thật vậy, ta có: pM +pN là ánh xạ đồng nhất trên E và E là không gian véctơ borno. Mà ánh xạ đồng nhất của một tập borno bất kỳ là ánh xạ bị chặn. Do đó, pM +pN là ánh xạ bị chặn. Hơn nữa, do pM là ánh xạ bị chặn nên pN cũng là ánh xạ bị chặn.
Tương tự, nếu pN là ánh xạ bị chặn thì pM là ánh xạ bị chặn.
Bây giờ, giả sử nếu C là tập bị chặn trong E thì pM (C) và pN (C) lần lượt là bị chặn trong M và N. Do C ⊂ pM (C)L
pN (C) nên C là tập bị chặn đối với borno tổng trực tiếp. Chứng tỏ borno của E là mịn hơn borno tổng trực tiếp. Nhưng borno tổng trực tiếp rõ ràng mịn hơn borno của E, vì tổng của hai tập hợp bị chặn trong E là tập bị chặn. Bởi vậy hai borno đó là trùng nhau.Tức là, borno trên E là borno tổng trực tiếp. Vậy E là tổng trực tiếp borno của M và N.