Cho E, F là các không gian lồi địa phương trên Cvà D là một miền trong E. Bài toán về hội tụ Tauber là tìm thêm những tính chất để đảm bảo rằng mọi dãy hàm chỉnh hình với giá trị trong F được xác định và hội tụ trên một tập con của D là hội tụ khắp nơi trên D. Một ví dụ quan trọng là định lý Vitali rằng những tập con chứa một điểm giới hạn trong D là được chú ý đến và tính chất bị chặn đều địa phương là có thể được thêm vào. Trong trường hợp E, F là hữu hạn chiều, ta thấy rằng chứng minh định lý Vitali là dễ dàng với sự trợ giúp của định lý Montel. Hơn nữa, định lý Montel không còn đúng trong trường hợp nhận giá trị véctơ nếu không gian dưới Banach là vô hạn chiều. Điều ngạc nhiên là định lý Vitali vẫn còn đúng (xem trong [AN] và [QLD]).
Sử dụng kết quả trong phần trước, ta nghiên cứu thác triển chỉnh hình của hàm liên tục nhận giá trị Fréchet f đến một hàm nguyên từ tập con lồi, bị chặn, compact, không đa cực B của một không gian Fréchet khi f được xấp xỉ đủ nhanh bởi một dãy đa thức trên B.
Chúng ta hãy bắt đầu chương này với trường hợp f là hàm liên tục nhận giá trị Banach được xác định trên một tập con compact, không đa cực của một không gian hữu hạn chiều.
Đầu tiên, ta nhắc lại một số kết quả về tập không đáng kể (negligible set) của Bedford and Taylor ([18], Theorem 4.7.6) và chứng minh một sự thay đổi nhỏ của Bất đẳng thức cổ điển Bernstein-Walsh về đánh giá chuẩn “sup” của đa thức với những giá trị trên một không gian nửa chuẩn.
3.1 Hội tụ Tauber nhanh của dãy đa thức nhiều biếngiá trị Banach và thác triển chỉnh hình giá trị Banach và thác triển chỉnh hình
Mệnh đề 3.1.1 ([25]). Cho tumumě1 là một dãy hàm đa điều hòa dưới xác định trên tập con đóng D của CN. Nếu dãy tumumě1 bị chặn đều địa phương thì tập tz P D : lim sup mÑ8 umpzq ă plim sup mÑ8 umq˚pzqu là tập đa cực.
Bổ đề 3.1.1 ([25]). Cho K, L là các tập compact trong CN với K là tập không. Cho đa cực F là một không gian véctơ được trang bị nửa chuẩn }.}. Khi đó tồn tại CK,L ą 0 chỉ phụ thuộc vào K và L sao cho với mọi đa thức liên tục p : CN Ñ F bậc m ta có 1 mlog}p}L ď 1 mlog}p}K `CK,L. Chứng minh. Xét hàm cực trị Siciak VKpzq :“ suptupzq : u P LpCNq :u|K ď 0u, với LpCN
q là lớp Lelong của hàm đa điều hòaϕ với sự phát triển logarit trên
CN nghĩa là,
ϕpzq ďlogp1` |z|q `C, @z P CN
với C là hằng số không phụ thuộc vào z. Khi đó K là tập compact, không đa cực và hàm VK là liên tục trên CN. Mặt khác, vì degp “ m nên dễ dàng thấy rằng nếu ϕpzq :“ 1 mlog}ppzq}, @z P C N thì ϕpzq thuộc lớp LpCN q. Khi đó, vì hàm ψ :z ÞÑ 1 mlog}ppzq} ´ 1 m}p}K thuộc lớp LpCN
q và ψ|K ď 0 nên ta có ψpzq ďVKpzq với mọi z P CN, tức là
1
mlog}ppzq} ´
1
với mọi z P CN. Do đó, cho CK,L :“ supzPLVKpzq, ta thấy rằng sup zPL 1 mlog}ppzq} “ 1 mlog}p}L ď 1 mlog}p}K `supzPL VKpzq ď 1 mlog}p}K `CK,L.
Mệnh đề 3.1.2 ([25]). Cho F là không gian Banach và f là hàm liên tục nhận giá trị trong F xác định trên tập con compact, không đa cực X của CN. Cho tpmumě1 đa thức liên tục nhận giá trị F với degpm ď m sao cho
lim
mÑ8}fpzq ´pmpzq}1{m “ 0, @z P X. Khi đó ta có các khẳng định sau:
(1) f có thể thác triển thành hàm chỉnh hình (vẫn kí hiệu bởi f) trên CN. (2) Với mọi ε ą 0 và với mọi tập compact K Ă CN, tồn tại m0 sao cho
@m ě m0 ta có
}f ´pm}1K{m :“ supzPK}fpzq ´pmpzq}1{m ă ε.
Chứng minh. (1) Vì pm Ñ f theo từng điểm trên X nên dãy tpmumě1 bị chặn theo từng điểm trên X. Do đó, vì X là không đa cực nên tồn tại tập không đa cực X1
Ă X sao cho
sup
mě1
}pm}X1 ă 8. Thật vậy, với mọi k ě 1 ta đặt
Xk :“ tz P X : |pmpzq| ď k, @m ě 1u.
Vì dãy tpmumě1 bị chặn theo từng điểm trên X nên X “ Ťkě1Xk. Khi đó tồn tại k0 sao cho Xk0 là không đa cực. Vì X compact và mỗi đa thức pm là liên tục nên Xk0 “ 8 č m“1 tz P X : |pmpzq| ď k0u
là compact.
Vì Xk0 compact và không đa cực nên áp dụng Bổ đề 3.1.1 ta có dãy tm1log}pm}umě1 bị chặn đều địa phương trên CN. Bây giờ ta định nghĩa rằng với m ě 1 hàm đa điều hòa dưới
umpzq :“ 1
2mlog}p2mpzq ´ p2m´1pzq}, z P CN.
Dễ dàng kiểm tra được rằng dãy tumumě1 bị chặn đều địa phương trên. Do đó hàm u được định nghĩa bởi
upzq :“ lim sup
mÑ8
umpzq, @z P CN
là bị chặn địa phương trên. Cố định x P X, ta khẳng định rằng upxq “ ´8. Thật vậy, cho ε P p0,1q, ta chọn m0 đủ lớn sao cho
}fpzq ´ pmpzq} ă εm, @m ě m0. Bởi bất đẳng thức tam giác, với mọi m ě m0, ta có
}p2mpxq ´p2m´1pxq} ď }fpxq ´p2mpxq} ` }fpxq ´p2m´1pxq} ă ε2m `ε2m´1. Điều này dẫn đến upxq “lim sup mÑ8 umpxq ă logε 2 .
Cho ε Ó 0 ta được upxq “ ´8. Nghĩa là u ” ´8 trên Xk0. Mặt khác, bởi Mệnh đề 3.1.1, tập tz P CN : upzq ‰ u˚
pzqu là đa cực. Vì thế u˚
pxq “ ´8 trên một tập con không đa cực của CN. Hay u˚
” ´8 trên CN. Do đó u ” ´8 trên CN. Bởi Bổ đề Hartog cho dãy hàm điều hòa dưới, ta có dãy tumumě1 hội tụ đều đến ´8 trên các tập compact của CN. Bây giờ ta cố định tập compact K của CN và ε ą 0, khi đó tồn tại m0 ě 1 sao cho
umpzq ă logε, @m ě m0, @z P K. Vì thế
}p2m ´p2m´1}K ă ε2m, @m ě m0.
Do đó dãy tp2mumě1 hội tụ đều trên các tập compact của CN đến hàm chỉnh hình fr. Vì sự hội tụ xảy ra trên X nên frlà thác triển chỉnh hình.
(2) Ta đặt
vpzq “ lim sup
mÑ8
1
mlog}fpzq ´pmpzq}, @z P D.
Bởi giả thiết ta có vpaq “ ´8 với mọia P X. Hơn nữa, dãy pm1log}f´pm}qm gồm các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương trên, ta kết luận rằng sự chính quy hóa
v˚pzqq “ lim sup
ξÑz
vpξq
cũng là hàm đa điều hòa dưới trênD. Do đó, sử dụng Định lý Bedford-Taylor và tính chất không đa cực của X, ta kết luận rằng v˚
pzq “ ´8 trên một đoạn không đa cực của X. Hay v˚
” ´8 trên D và do đó v ” ´8 trên D. Vì thế với mỗi ε P p0,1q ta có lim sup mÑ8 1 m}fpzq ´pmpzq} ă logε, @z P D.
Điều này dẫn đến với mọi tập con compact K của D, tồn tại m0 sao cho nếu m ě m0 thì
}f ´pm}1K{m ă ε.
3.2 Hội tụ Tauber nhanh của dãy đa thức trong vôhạn chiều và thác triển chỉnh hình hạn chiều và thác triển chỉnh hình
Định lý 3.2.1 ([25]). Cho E là không gian hạch vô hạn chiều Fréchet với tôpô τE sao cho E P pΩrBq với B P KpEq và F là không gian Fréchet với tôpô được định nghĩa bởi một dãy tăng các nửa chuẩn p}.}qně1. Cho f là một hàm liên tục nhận giá trị trong F xác định trên B và chỉnh hình tại 0 P pEB, τEq. Giả sử tồn tại một dãy các đa thức tpmumě1 có giá trị trong F trên E với
degpm ď m sao cho
lim
mÑ8}fpzq ´ pmpzq}n1{m “ 0, @z P B, @ně 1. Khi đó f thác triển đến một hàm chỉnh hình trên E.
Chứng minh. Như trong phần chứng minh Định lý 2.3.2, ta có EB trù mật trong E. Ta xét hai trường hợp sau:
(a) Trường hợp F “ C:
Ta ký hiệu F là họ tất cả các không gian con hữu hạn chiều P ‰ 0 của EB. Vì B là tập mở lồi cân nên B XP là lân cận mở lồi cân của 0 trong P với mọi P P F. Và vì P hữu hạn chiều nên B X P không đa cực trong P. Bởi Mệnh đề 3.1.2, tồn tại fpP P HpEB X P, Fq sao cho fpP “ f trên B XP. Mặt khác, nếu P và Q là các không gian con hữu hạn chiều của EB thì
p
fP|PXQ “ fpPXQ “ fpQ|PXQ.
Do đó, họ tfpPuPPF xác định một hàm chỉnh hình Gâteaux trên EB (ta vẫn ký hiệu là f). Khi đó, bởi giả thiết và Ví dụ 3.1 ta có f P HpEq.
(b) Trường hợp F là Fréchet: Hiển nhiên, với mọi z P B ta có
lim
mÑ8|pu˝fqpzq ´ pu˝pmqpzq|1{m
“ 0, @u P F1.
Từ câu (a), hàm u˝f có thác triển uz˝f P HpEq với mọi u P F1. Bởi nguyên lý đồng nhất ta xác định ánh xạ tuyến tính
T : F1bor Ñ HpEqbor,