KHÔNG GIAN ZORN

2.1 Không gian Zorn

Định lý 2.1.1. Cho E và F là hai không gian lồi địa phương, U là tập con mở liên thông của E và f : U Ă E Ñ F là một hàm G-giải tích. Khi đó f liên tục trên cả tập mở và đóng trong U nếu không gian E thỏa mãn các điều kiện sâu đây:

(a) E là không gian metric hóa và đầy đủ; (b) E là không gian Baire;

(c) E là không gian đối ngẫu của không gian Fréchet-Schwartz (E P DF S); (d) E là không gian tích metric hóa đầy đủ;

(e) E là không gian tích của DF S.

Chú ý: Các điều kiện c), d) và e) là hệ quả của a) và b) vì những lí do sau đây:

(1) Không gian DF S có thể được coi là một giới hạn quy nạp nghiêm ngặt của không gian Banach Bn bởi các thác triển compact. Chúng ta có thể thấy rằng, tập con U của E (tương ứng hàm f : f : U Ă E Ñ F) là tập mở (tương ứng liên tục) khi và chỉ khi với mọi n, U X Bn là tập mở trong Bn (tương ứng hàm f|Bn :U XBn Ñ F là liên tục).

(2) Hơn nữa, nếu E là không gian tích thì E “ śEi, nghĩa là E được phân tích thành tích hữu hạn các Ei. Thật vậy, nếu f liên tục tại x, nó sẽ

bị chặn trong lân cận của x dưới dạng UJ ˆśiRJ Ei với tập J hữu hạn, vì thế bởi Định lý Liouville, Uj mở trong śiPJ Ei trên xJ ` śiRJ Ei với mọi xJ P UJ Ă śJ Ei.. Trên thực tế, lợi ích của Bổ đề Zorn trong không gian liên qian đến tập mở U và một hàm giải tích f trên U, nếu chúng ta có thể tìm thấy một tập mở V thỏa V XU ‰ ∅, V Ę U và một hàm G-giải tích g trên V sao cho g|UXV “ f thì nó liên tục, vì thế, nó là thác triển của g trên V.

2.2 Bất biến tôpô tuyến tính Ωr

Định nghĩa 2.2.1 ([2]). Cho E là không gian Fréchet với tôpô xác định bởi họ tăng các nửa chuẩn t}.}kukPN. Ta nói E có tính chất

pΩrq : nếu @p,Dq, dą 0,@k,DC ą 0 sao cho }.}˚1`d q ď C}.}˚ k}.}˚d p ; pLB8 q : nếu @dn Ò 8,Dp,@q,Dkq ě q, Cq ą 0,@x P E,Dm : q ď m ď kq sao cho }x}1`dm q ď Cq}x}m}x}dm p .

Cho B là tập con lồi tuyệt đối, bị chặn, đóng trong E. Ta nói E có tính chất pΩrBq nếu

@p,Dq, d, C ą 0 sao cho }.}q˚1`d ď C}.}˚B}.}˚pd.

Khi E có tính chất pΩrq (tương ứng pΩrBq) ta viết E P pΩrq (tương ứng E P pΩrBq). Dễ thấy các tính chất này được kế thừa qua không gian con. Chú ý Dineen, Meise và Vogt đã chứng minh rằng E P pΩrq nếu và chỉ nếu tồn tại B P KpEq sao cho E P pΩrBq.

Ví dụ 2.2.1. Cho α “ pαjqjPN là một dãy đơn điệu tăng trên r0;`8q và

limjÑ8αj “ `8 và r P RY t`8u. Ta định nghĩa

Λrpαq :“ tx P Cn :|x|2t “ ÿ jPN |xj|2e2tαj ă `8, @t ă ru. Khi đó

(ii) Không gian Λ8pαq R pΩrBq.

Mối liên hệ giữa các tập đa cực và bất biến tôpô tuyến tính Ωr.

Bổ đề 2.2.1 ([2]). Cho B là tập compact lồi, cân trong không gian Fréchet hạch E có tính chất xấp xỉ bị chặn. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) E P pΩrBq;

(ii) rHpBqs1 P pLB8

q;

(iii) B không đa cực.

Chú ý rằng, nếu bỏ qua tính "xấp xỉ bị chặn" của không gian E thì ta có mối quan hệ piiiq ñ piq ñ piiq, đồng thời nếu E là một không gian Fréchet-Schwartz thì ta có piiiq ñ piq.

Bổ đề 2.2.2. Cho B là một tập con compact của không gian Fréchet E sao cho rHpBqs1 P pLB8

q. Khi đó B là tập compact duy nhất, nghĩa là với mọi f P HpBq, f|B “ 0 thì f “ 0.

2.3 Không gian con Zorn trù mật

2.3.1 Thác triển chỉnh hình từ không gian con trù mật

Ví dụ 2.3.1. Cho E là không gian hạt Fréchet với tôpô τE và E P pΩrBq với B P KpEq. Khi đó pEB, τEq có tính chất Zorn và

HubpEB, τEq “ HbpEB, τEq “ HpEB, τEq.

Chúng ta sẽ xem xét tính chất Zorn trong trường hợp E là không gian Fréchet-Schwartz với cơ sở Schauder tuyệt đối. Đầu tiên, chúng ta thảo luận về thác triển chỉnh hình từ không gian con trù mật của không gian Fréchet. Bổ đề 2.3.1. Cho E0 là một không gian con trù mật của không gian Fréchet E. Khi đó với mọi dãy bị chặn txnuně1 Ă E tồn tại một dãy bị chặn tynuně1 Ă E0 sao cho txn : n ě 1u Ă tyn :n ě 1u.

Chứng minh. Giả sử p} ¨ }pqpě1 là một họ tăng các nửa chuẩn xác định tôpô trên E. Do tính trù mật của D0 trong D nên với mỗi n, p (1 ď n ď p), tồn tại xpn P D0 sao cho }xpn´xn}p ă p1. Suy rapxpnqpěn hội tụ đến xn khip Ñ 8. Tiếp theo, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng pxpnqpěn bị chặn. Thật vậy, với k ě 1, ta có sup 1ďnďp }xpn}k ď sup 1ďnďp }xpn´xn}k `sup n }xn}k ď sup 1ďnďpďk }xpn´xn}k ` sup 1ďnďp pąk }xpn ´xn}k `sup n }xn}k ă 8. Bổ đề được chứng minh xong.

Định lý 2.3.1. ChoE0 là một không gian con trù mật của không gian Fréchet E. Khi đó

HbpE0q “ HbpEq.

Chứng minh. Đặt B “ tB Ă E : tồn tại tập con bị chặn B0 Ă E0 với B Ă B0u. Lấy f P HbpE0q và viết fpzq “ 8 ÿ n“0 Pnfpzq.

Vì f bị chặn trên mọi tập bị chặn trong E0 nên chuỗi

8

ÿ

n“0

Pnfpzq

hội tự đều trên mọi tập bị chặn trong E0. Khi đó chuỗi đa thức n-đồng nhất suy rộng 8 ÿ n“0 y Pnf hội tụ đều trên tất cả các tập trong B.

Bởi Bổ đề 2.3.1, txn : n P Nu P B với bất kỳ dãy bị chặn txnu trong E. Do đó fplà liên tục và bị chặn trên tất cả các tập bị chặn trên E. Nói cách khác, tồn tại một dãy bị chặn txnuně1 Ă E sao cho

sup

ně1

|fppxnq| “ `8.

Bởi Bổ đề 2.3.1, tồn tại một dãy bị chặn tynuně1 Ă E0 sao cho txn : n ě

1u Ă tyn : n ě 1u. Khi đó fp không bị chặn trên tyn : n ě 1u, điều này là không thể xảy ra.

Cuối cùng, ta dễ dàng thấy rằng ta`zb : |z| ď Ru P B với mọi a, b P E và R ą 0. Do đó fplà chỉnh hình Gâteaux. Định lý được chứng minh.

Trong định lý ta giả sử rằng không gian E là không gian Fréchet-Schwartz với cơ sở tuyệt đối pejqjě1. Trong trường hợp, hàm tọa độ e˚

j : E Ñ C tạo thành cơ sở đối ngẫu của E1, không gian đối ngẫu mạnh của E. Với mỗi x P E có một khai triển x “ řjě1e˚

jpxqej và E chứa một hệ nửa chuẩn cơ bản p}.}qně1 có dạng › › ÿ jě1 e˚jpxqej›› n “ ÿ jě1 |e˚jpxq|}ej}n.

Đặc biệt, với mọi j và n thỏa }ej}n ‰ 0, ta có }e˚j}˚n “ supt|e˚npxq| : }x}n ď 1u “ supt|e˚npxq| : ÿ jě1 |e˚jpxq|}ej}n ď 1u (2.3.1) “ 1 }ej}n.

2.3.2 Không gian con Zorn trù mật và thác triển chỉnh hình

Bổ đề 2.3.2 ([14]). Cho E là không gian Fréchet-Schwartz với cơ sở tuyệt đối. Khi đó các điều sau là tương đương:

(i) Tồn tại một tập B compact trong E sao cho rHpBqs˚

β có tính chất pLB8

(ii) Tồn tại một tập B compact trong E là không đa cực. (iii) E có tính chất Ωr.

Chứng minh. Xem [14], Định lý 3.1, trang 243-246.

Định lý 2.3.2. Cho E là không gian Fréchet-Schwartz với cơ sở Schauder tuyệt đối và tôpô τE sao cho E P pΩrBq với B P KpEq. Khi đó tồn tại tập không đa cực K P KpEq sao cho pEK, τEq có tính chất Zorn. Hơn nữa,

HpEK, τEq “ HubpEq.

Chứng minh. Lấy }.}γqγě1 là một hệ nửa chuẩn cơ bản tăng của E và lấy pejqjě1 là một cơ sở Schauder tuyệt đối của E.

Vì E P pΩrBq nên ta có

@α,Dβ ě α, dą 0, C ą 0 sao cho

}.}˚β1`d ď C}.}˚B}.}˚αd. (2.3.2) Bởi sự tương đương của (ii) và (iii) trong Bổ đề 2.3.2 , ta thấy rằng B là tập không đa cực.

Vì pejqjě1 là một cơ sở Schauder tuyệt đối của E, nên với mọi chuẩn liên tục p trên E, chuỗi

ÿ

jě1

|xe˚j, xy|ppejq

hội tụ với mọi x P E. Điều này có nghĩa là dãy tppejqe˚

jujě1 là σpE, E1

q- hội tụ đến 0 trong E1. Khi đó, vì E là Fréchet-Montel nên dãy tppejqc˚

jujě1là βpE1, Eq-hội tụ đến 0 trong E1 với mọi chuẩn liên tục p trên E. Do đó