Định lý thứ nhất về cách biểu diễn khoá

Nếu thu gọn LĐQH p = (U,F) theo tập XU để nhận được LĐQH q = p\X thì:

1. Key(p) = Key(q) khi và chỉ khi XUo 2. Key(p) = XKey(q) khi và chỉ khi XUI

Chứng minh

1. Giả sử Key(p) = Key(q), AX và AUo. Theo phân hoạch của các thuộc tính trong U, AUK thì phải tồn tại một khoá K trong Key(p) để AK.

Do Key(p) = Key(q) nên K = Key(q). Từ đây ta suy ra K  U\X hay là KX = . Điều chỉnh mâu thuẫn với AK và AX. Vậy ta phải có XUo (Suy từ bổ đề về khoá trong phép thu gọn LĐQH).

2. Đẳng thức Key(p) = XKey(q) cho biết X có mặt trong mọi khoá của p, tức là XUI. Giả sử XUI.

Ta sẽ chứng minh rằng mọi khoá KKey(p) đều được biểu diễn dạng XM, trong đó MKey(q) và ngược lại, nếu MKey(q) thì MXKey(p).

Cho K=Key(p). Khi đó , vì XUI nên X phải có trong mọi khoá của p, nói riêng

X K. Đặt M=K\X, ta có MX= và K=XM. Theo bổ đề về siêu khoá trong phép thu gọn LĐQH ta suy ra M=K\X là siêu khoá của q. Giả sử M chứa một siêu khoá P của q. Khi đó XP lại là siêu khoá của p và XPK. Vì K là khoá của p nên XP = K = XM. Để ý rằng XP = XM = , ta suy ra P = M. Vậy M là khoá của q.

Cho MKey(q). Ta có XM = . Theo bổ đề về siêu khoá trong phép thu gọn LĐQH thì XM là siêu khoá của p. Gọi K là khoá của p chứa trong siêu khoá XM. Lại theo bổ đề về siêu khoá trong phép thu gọn LĐQH, K\X là siêu khoá của q. Vì K là khoá của p và X  UI nên X  K. Từ đây suy ra K\X=M, hay K = XM. Điều này chứng tỏ XM là khoá của p.

 Ví dụ 11: 1. Cho LĐQH p = (U,F). Với U = ABCDEH.

F={AED, BCE}

Gọi UI là giao các khoá. Ta có: UI = ABCDEH\DE = ABCH. Đặt q = (V,G) với V=U\ABCH = DE, G=F\ABCH={ED, E}. Ta tính được Key(q) = {}.

Vậy Key(p) = ABCH  Key(q) = {ABCH} 2. Với lược đồ đã cho ta tính được UK = ABCH, suy ra

Uo=U\UK =ABCDEH\ABCH = DE. Đặt c = p\DE = (P,W).

P = U\DE = ABCH.

W = F\DE = {A(loại),

BC(loại)}  .

Do đó Key(c) = ABCH. Theo định lý thứ nhất về cách biểu diễn khoá, vì Uo = DE

nên Key(p) = Key(c) = ABCH.

 Ví dụ 12: 1. Cho LĐQH p = (U,F). Với U = ABCDEHIK.

F={ABC, CEH, HAB}

Ta tính được UI = U\ABCEH = DIK.

V=U\DIK=ABCEH. G = {ABC,

CEH, HAB}

Ta tính được Key(q) = H. Vậy Key(p) = DIKKey(q) = DHIK. 2. Với lược đồ trên ta tính được UK = DHIK

 Uo = U\UK = ABCDEHIK\DHIK = ABCE. Đặt c = p\ABCE =(P,W) ta có P = U\ABCE = DHIK. W=F\ABCE = { (loại) ,

H,

H (loại)}  . Suy ra Key(c) = DHIK.

Theo định lý thứ nhất về cách biểu diễn khoá, vì Uo = ABCE nên:

Key(p) = Key(c) = DHIK.

2.7.1 Hệ quả về phép thu gọn LĐQH theo các bộ phận không khoá và các giao khoá

Cho LĐQH p = (U,F) và các tập thuộc tính XUo, YUI. Nếu thực hiện phép thu gọn theo XY để nhận được LĐQH q = p\XY thì:

Key(p) = Y  Key(q)

Chứng minh

Do XUo, YUI nên XY = . Đặt c = p\X, ta có q = p\XY = (p\X)\Y = c\Y. Áp dụng dạng biểu diễn thứ nhất của khoá ta thu được:

Vì XUo nên Key(p) = Key(c) và do giao các khoá của c vẫn là UI Xét trong c nên Key(c) = YKey(q). Vậy Key(p) = Y  Key(q).  Ví dụ 13: Cho LĐQH a = (U,F).Với U = ABCDEHIK.

F= {ABC, DEH, HI }

Ta có UI = U\CEHI = ABDK, UK = ABDK. Ta có Uo = U\UK = U\ABDK = CEHI. Ta thu gọn p theo X = Uo và Y = UI ta được:

LĐQH q = p\XY = (V,G) . V = U\XY = U\U = .

G = F\XY =  suy ra Key(q) = . Vậy Key(p) = YKey(q) = ABDK.