1 Cấu trúc và tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất
1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine
Trong mục này ta sử các kí hiệu sau:
Λ = {ξ = (ξ1, ..., ξm) ∈ Rm : ξi ≥0, m P i=1 ξi = 1}; Λ0 = {ξ = (ξ1, ..., ξm) ∈ Rm : ξi > 0, m P i=1 ξi = 1}; ∆ = {x ∈ Rn :Ax ≥ b, A ∈ Rrìn, b ∈ Rr}.
Chúng ta luôn giả thiết rằng ∆ 6= ∅;M1, ..., Mm ∈ Rnìn;q1, ..., qm ∈ Rn.
Định nghĩa 1.2.1.
Bài toán tìm x¯∈ ∆ sao cho
hMx¯+q, x−x¯i ≥ 0, ∀x ∈ ∆ (1.27) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân affine (affine variational in- equality problem) và được kí hiệu là AVI, (trong đó M ∈ Rnìn, q ∈ Rn).
Tập nghiệm Sol(AVI) của bài toán AVI là tập tất cả x¯ ∈ ∆ thoả mãn (1.27).
Định nghĩa 1.2.2.
Bài toán tìm x¯∈ ∆ sao cho
(hM1x¯+q1, x −x¯i, ...,hMmx¯+qm, x−x¯i) ∈ −/ Rm+\{0},∀x ∈ ∆ (1.28) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ affine (affine vector variational inequality problem), viết gọn là AVVI.
Tập nghiệm Sol(AVVI) của bài toán AVVI là tập tất cảx¯∈ ∆thoả mãn (1.28).
Bài toán tìm x¯∈ ∆ sao cho
(hM1x¯+ q1, x−x¯i, ...,hMmx¯+qm, x −x¯i) ∈ −/ intRm+,∀x ∈ ∆ (1.29) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ affine yếu (weakly affine vector variational inequality problem), viết gọn là AVVIw.
Tập nghiệm Sol(AVVI)w của bài toán AVVIw là tập tất cả x¯ ∈ ∆ thoả mãn (1.29).
Định nghĩa 1.2.4.
Với mọi ξ ∈ Λ, bài toán tìm x¯∈ ∆ sao cho
h m X i=1 ξiMix¯+ m X i=1 ξiqi, x−x¯i ≥ 0,∀x ∈ ∆ (1.30) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số (parametric affine variational inequality problem), viết gọn là AVIξ .
Tập nghiệm Sol(AVI)ξ của bài toán AVIξ là tập tất cả x¯ ∈ ∆ thoả mãn (1.30).
Định lý 1.2.5. (Xem [8] trang 92).
¯
x ∈ Rnlà nghiệm của bài toán AVI nếu và chỉ nếu tồn tạiλ = (λ1, ..., λr) ∈
Rm sao cho Mx¯−ATλ +q = 0; Ax¯ ≥ b; λ ≥ 0; λT(Ax¯−b) = 0. Từ Định lý 1.1.17 ta có hệ quả sau Hệ quả 1.2.6. Ta có [ ξ∈Λ0
Sol(AVI)ξ = Sol(AVVI) ⊆Sol(AVVI)w = [
ξ∈Λ