1 Cấu trúc và tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất
1.2.2 Các định lý tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức
affine
Mục này trình bày một số định lý cơ bản về tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine. Một số điều kiện đơn điệu được đặt lên ánh xạ tuyến tính xác định bởi ma trận M và mối quan hệ giữa vectơ q với tập hạn chế ∆
và nón lùi xa 0+∆ = {v ∈ Rn : Av ≥ 0} sẽ được sử dụng để chứng minh các định lý này.
Định nghĩa 1.2.7.
Ta nói rằng M ∈ Rnìn là đơn điệu (monotone) trên tập lồi, đóng ∆⊂ Rn nếu toán tử tuyến tính tương ứng với ma trận M là đơn điệu trên∆, nghĩa là
(y −x)TM(y −x) ≥0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆. (1.32) Ma trận M được gọi là đồng dương (copositive) trên ∆ nếu
vTM v ≥ 0, ∀v ∈ 0+∆. (1.33) Nếu M là đồng dương trên Rn+ thì ta nói M là ma trận đồng dương (matrix copositive) . Ma trận M được gọi là đồng dương chặt (strictly copositive) trên ∆ nếu
vTM v > 0, ∀v ∈ 0+∆\ {0}. (1.34) Ma trận M ∈ Rnìn được gọi là nửa xác định dương nếu với mọi v ∈ Rn ta có vTM v ≥0.
Nhận xét 1.2.8. Tính chất đơn điệu suy ra tính đồng dương. Nhưng ngược lại nói chung không đúng.
Thật vậy, nếu (1.32) được thỏa mãn và ∆ là tập khác trống thì với mọi
¯
x ∈ ∆ và v ∈ 0+∆, do x¯+v ∈ ∆ nên ta có
vTM v = ((¯x+ v)−x¯)TM((¯x+v)−x¯) ≥ 0.
Để chỉ ra tính đồng dương không suy ra tính đơn điệu, ta xét thí dụ sau đây. Giả sử M = 1 2 2 1 ∈ R2ì2, ∆ = R2+.
Với mỗi v ∈ 0+∆ = R2+ ta có vTM v ≥0. Do đó M là đồng dương trên ∆. Nhưng M không đơn điệu trên ∆. Thật vậy, chọn x = (0,1) và y = (1,0), ta thấy rằng (y −x)TM(y−x) = 1 −1 1 2 2 1 1 −1 = −2 < 0.
A. Tồn tại nghiệm với giả thiết đơn điệu Định lý 1.2.9. (Xem [8] trang 103).
Giả sử hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(i) Tồn tại x¯∈ ∆ sao cho (Mx¯+ q)Tv ≥ 0 với mọi v ∈ 0+∆, (ii) (y−x)TM(y−x) ≥ 0 với mọi x ∈ ∆ và y ∈ ∆,
Khi ấy tập nghiệm Sol(AVI) khác rỗng.
Từ định lí 1.2.9 dễ dàng suy ra kết quả dưới đây. Định lý 1.2.10. (Xem [8] trang 109).
Nếu M là ma trận nửa xác định dương và tồn tại x¯ ∈ ∆ sao cho (Mx¯+
q)Tv ≥ 0với mọi v ∈ 0+∆, thì bài toán AVI có nghiệm. Ví dụ 1.2.11. Giả sử M = 1 0 0 −1 ∈ R2ì2, q = (q1, q2) ∈ R2, ∆ = {x = (x1, x2) ∈ R2 + : x1 ≥ 0, x2 = 0}.
Định lí 1.2.9 và Định lí 1.2.10 đều có thể áp dụng cho bài toán này. Thật vậy, vì M là đơn điệu trên ∆, nên chỉ cần chỉ ra rằng tồn tạix¯∈ ∆sao cho
Nếu q1 < 0 thì chọn x¯ = (−q1,0), nếu q1 ≥ 0 thì chọn x¯ = (0,0). Ta dễ dàng chỉ ra rằngSol(AVI) ={(−q1,0)}nếuq1 < 0vàSol(AVI) = {(0,0)}
nếu q1 ≥ 0.
B. Tồn tại nghiệm dưới điều kiện đồng dương
Trong mục này chúng ta chứng minh một số định lý tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân AVI, trong đó M không đòi hỏi giả thiết đơn điệu trên ∆. Ta chỉ giả thiết rằng M là đồng dương trên ∆.
Trước tiên chúng ta trình bày các định lý tồn tại nghiệm dựa trên giả thiết đồng dương chặt .
Bổ đề dưới đây chỉ ra rằng giả thiết đồng dương chặt trong định lý trên thực chất là tương đương với điều kiện bức.
Bổ đề 1.2.12.
Ma trận M ∈ Rnìn là đồng dương chặt trên tập lồi đa diện khác trống
∆ ⊂Rn nếu và chỉ nếu tồn tại x0 ∈ ∆sao cho
hM y−M x0, y−x0i
ky −x0k →+∞ khi kyk → +∞, y ∈ ∆. (1.35) Định lý 1.2.13.
Nếu ma trận M là đồng dương chặt trên tập đa diện lồi khác trống∆thì với mọi q ∈ Rn, bài toán AVI có nghiệm.
Chứng minh. Giả thiết rằng M là đồng dương chặt trên ∆ vàq ∈ Rn là một vectơ bất kì. Xét ánh xạ affine f(x) = M x+q. Ta áp dụng Bổ đề 1.2.12 ta có thể chỉ ra rằng tồn tại x0 ∈ ∆sao cho điều kiện bức (1.5) được thỏa mãn. Theo Định lí 1.1.5, bài toán VI có nghiệm. Vì bài toán này chính là bài toán AVI, nên ta suy ra kết luận của định lí là đúng.
Định lý tồn tại nghiệm dưới đây không đòi hỏi ma trận M phải là đồng dương chặt trên ∆. Thay thế cho tính đồng dương chặt, ta sử dụng một giả thiết yếu hơn.
Định lý 1.2.14.
Nếu ma trậnM là đồng dương trên tập đa diện lồi khác trống∆và không tồn tại v¯∈ Rn\ {0} sao cho
¯
v ∈ 0+∆, Mv¯∈ (0+∆)+, v¯TMv¯= 0, (1.36) trong đó
(0+∆)+ = {ξ ∈ Rn : ξTv ≥0 ∀v ∈ 0+∆}
thì với mọi q ∈ Rn, bài toán AVI có nghiệm.
Ví dụ 1.2.15. Giả sửM và∆như trong Thí dụ 1.2.11. Dễ dàng kiểm tra rằng điều kiện của Định lí 1.2.14 được thoả mãn. Do đó với mọiq = (q1, q2) ∈ R2, bài toán AVI có nghiệm.
1.2.3 Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân véc tơ affine. phân véc tơ affine.
Chuẩn của một ma trận M ∈ Rnìn được tính bởi công thức
kMk= max{kM xk : x ∈ Rn,kxk ≤ 1}.
Định lý 1.2.16.
Giả sử M1, ..., Mm là đơn điệu (monotone), đồng dương chặt trên ∆. Khi ấy Sol(AVVI)và Sol(AVVI)w là khác rỗng, bị chặn và liên thông. Hơn nữa
Sol(AVVI)w là tập compact.
Chứng minh. Giả sử ξ = (ξ1, ..., ξm) ∈ Λ. Do M1, ..., Mm là ma trận đồng dương chặt trên ∆ nên ta có
hv, m X i=1 ξiMivi > 0,∀v ∈ 0+∆\{0}. Theo Định lí 1.2.13 ta có Sol(AVI)ξ 6= ∅.
Do đó Sol(AVVI) và Sol(AVVI)w khác rỗng. Mặt khác do Pm
i=1
ξiMi là monotone trên ∆ nên theo Mệnh đề 1.1.9 ta có
Sol(AVI)ξ là tập liên thông.
Giả sử rằng Sol(AVVI)w không bị chặn. Khi đó ta có
∃xk ∈ Sol(AVVI)w : kxkk → +∞. Theo Hệ quả 1.2.6 ta có ∃ξk = (ξ1k, ..., ξmk) ∈ Λ : xk ∈ Sol(AVI)ξk. (1.37) Ta có thể giả thiết rằng xk kxkk → v,¯ k¯vk = 1 và ξk → ξ¯= ( ¯ξ1, ...,ξ¯m) ∈ Λ. Từ (1.37) ta có h m X i=1 ξikMixk + m X i=1 ξikqi, x−xki ≥ 0,∀x ∈ ∆. (1.38) và Axk ≥ b. (1.39)
Ta chia (1.38) cho kxkk2 , (1.39) cho kxkk và cho k → +∞ ta được
h m X i=1 ¯ ξiMi¯v,v¯i ≤ 0, ¯v ∈ 0+∆\{0}.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết, nênSol(AVVI)w bị chặn. DoSol(AVVI)w
là tập đóng nên suy raSol(AVVI)wlà tập compact. Hơn nữa vìSol(AVVI) ⊆ Sol(AVVI)w nên suy ra Sol(AVVI) bị chặn.
Đặt K = Sol(AVVI)w . Xét ánh xạ trị G : Λ ⇒ 2K định nghĩa bởi
G(ξ) = Sol(AVI)ξ. Ta có Glà ánh xạ đóng. Do K là compact nênG là nửa liên tục trên trên Λ. Do Λ0,Λ là các tập liên thông nên G(Λ0) và G(Λ) là các tập liên thông. Do đó Sol(AVVI) và Sol(AVVI)w là liên thông.
Giả sử M ∈ Rnìn, q ∈ Rn, M∆ = {M x: x ∈ ∆}. Khi ấy
q ∈ int((0+∆)+)−M∆),
khi và chỉ khi
∀v ∈ 0+∆\{0},∃x ∈ ∆ : hM x+q, vi > 0.
Định lý 1.2.18.
Giả sử M1, ..., Mm là các ma trận nửa xác định dương. Nếu ∀v ∈
0+∆\{0},∃x ∈ ∆ sao cho:
hMix+qi, vi > 0, ∀i ∈ {1, ..., m}. (1.40) Khi ấy Sol(AVVI)và Sol(AVVI)w là khác rỗng, bị chặn và liên thông. Chứng minh. Giả sử ξ = (ξ1, ..., ξm) ∈ Λ. Từ (1.40) ta có h m X i=1 ξiMix+ m X i=1 ξiqi, vi > 0. (1.41) Theo Bổ đề 1.2.17 ta có m X i=1 ξiqi ∈ int((0+∆)+)−( m X i=1 ξiMi)∆. (1.42) Do đó Pm i=1 ξiqi ∈ (0+∆)+−( m P i=1 ξiMi)∆ và vì thế ∃x ∈ ∆ sao cho h m X i=1 ξiMix+ m X i=1 ξiqi, vi ≥ 0,∀v ∈ 0+∆.
Nên theo Định lí 1.2.9 ta có Sol(AVI)ξ 6= ∅, và vì vậy Sol(AVVI) và
Sol(AVVI)w là khác rỗng.
Giả sử rằng Sol(AVVI)w không bị chặn. Khi đó ta có
Theo Hệ quả 1.2.6 ta có ∃ξk = (ξ1k, ..., ξmk) ∈ Λ : xk ∈ Sol(AVI)ξk. (1.43) Ta có thể giả thiết rằng xk kxkk → v,¯ k¯vk = 1 và ξk → ξ¯= ( ¯ξ1, ...,ξ¯m) ∈ Λ. Từ (1.43) ta có h m X i=1 ξikMixk + m X i=1 ξikqi, x−xki ≥ 0,∀x ∈ ∆. (1.44) Do đó ta có ∀x ∈ ∆thì h m X i=1 ξikMixk+ m X i=1 ξikqi, x−xki ≥ h m X i=1 ξikMixk, xki+h m X i=1 ξikqi, xki. (1.45) Do Pm i=1
ξiMi là nửa xác định dương nên từ (1.45) suy ra
h m X i=1 ξikMixk + m X i=1 ξikqi, x −xki ≥ h m X i=1 ξikqi, xki,∀x ∈ ∆. (1.46) Ta chia (1.46) cho kxkk và cho k → +∞ ta được
h m X i=1 ¯ ξiMiv, x¯ i ≥ h m X i=1 ¯ ξiqi,v¯i,∀x ∈ ∆. (1.47) Ta có Axk ≥b nên Av¯≥ 0. Chia (1.45) cho kxkk2 và cho k →+∞ta được
h m X i=1 ¯ ξiMiv,¯ v¯i ≤ 0. Do Pm i=1 ¯
ξiMi là nửa xác định dương nên
h m X i=1 ¯ ξiMi¯v,v¯i = 0. Khi đó ta có ( m X i=1 ¯ ξiMi + m X i=1 ¯ ξiMiT)¯v = 0. (1.48)
Từ (1.47) và (1.48) ta có h m X i=1 ¯ ξiMix+ m X i=1 ¯ ξiqi,v¯i ≤ 0.
Điều này mâu thuẫn, nên Sol(AVVI)w bị chặn. Do Sol(AVVI)w là tập đóng nên suy ra Sol(AVVI)w là tập compact. Hơn nữa vì Sol(AVVI) ⊆ Sol(AVVI)w nên suy ra Sol(AVVI) bị chặn.
Đặt K = Sol(AVVI)w . Xét ánh xạ đa trị G : Λ ⇒ 2K định nghĩa bởi
G(ξ) = Sol(AVI)ξ. Ta có Glà ánh xạ đóng. Do K là compact nênG là nửa liên tục trên trên Λ. Do Λ0,Λ là các tập liên thông nên G(Λ0) và G(Λ) là các tập liên thông. Do đó Sol(AVVI) và Sol(AVVI)w là liên thông.
Bổ đề 1.2.19. (Xem [11] trang 4).
Giả sử ∆ là tập lồi đa diện khác rỗng, M ∈ Rnìn là ma trận nửa xác định dương và q ∈ Rn. Hai tính chất sau tương đương:
i) Sol(AVI) là khác rỗng và bị chặn.
ii) ∃ > 0sao cho với mỗi M˜ ∈ Rnìn và mỗi q˜∈ Rn mà
max{kM˜ −Mk,kq˜−qk}< , (1.49) thì tập nghiệm của bài toán AVI với giả thiết( ˜M ,q˜), kí hiệu làSol(AVI( ˜M ,q˜))
khác rỗng.
Khi i) đúng thì tồn tại các hằng số > 0, ρ > 0 và l > 0 sao cho nếu ( ˜M ,q˜) ∈ Rnìn ì Rn, M˜ là nửa xác định dương và có (1.49) thì
Sol(AVI( ˜M ,q˜)) khác rỗng và
Sol(AVI( ˜M ,q˜)) ⊂B¯(0, ρ) (1.50) và
Sol(AVI( ˜M ,q˜)) ⊂ Sol(AVI(M, q)+l(kM˜ −Mk+kq˜−qk) ¯B(0,1). (1.51) Định lý 1.2.20.
Xét bài toán AVVIw với giả thiết∆ là tập lồi đa diện khác rỗng, Mi(i = 1, ..., m) là các ma trận nửa xác định dương. Xét các tính chất sau:
i) Sol(AVVI)w khác rỗng và bị chặn.
ii) Tồn tại > 0sao cho với mọiM˜i ∈ Rnìn(i = 1, ..., m)và q˜i ∈ Rn(i = 1, ..., m) mà
max
i=1,...,mmax{kM˜i −Mik,kq˜i −qik} < (1.52) thì tập nghiệm của bài toán AVVIw với giả thiết ( ˜Mi,q˜i)(i = 1, ..., m), kí hiệu là Sol(AVVI( ˜Mi,q˜i))w khác rỗng.
Ta có i) ⇒ ii). Chiều ngược lại cũng đúng chỉ nếu ∆ là tập compact hoặc m = 1.
Khi ta có i) thì ∀α > 0 tồn tại các hằng số > 0, ρ > 0 sao cho nếu M˜i(i = 1, ...m) là các ma trận nửa xác định dương và có (1.52) thì
Sol(AVVI( ˜Mi,q˜i))w khác rỗng và
Sol(AVVI( ˜Mi,q˜i))w ⊂B¯(0, ρ) (1.53) và
Sol(AVVI( ˜Mi,q˜i))w ⊂ Sol(AVVI)w +αB(0,1). (1.54) Bổ đề 1.2.21.
Với giả thiết như trong định lí 1.2.20 và nếu i) được bảo đảm thì
{ξ ∈ Λ : Sol(AVI)ξ 6= ∅}= Λ. (1.55) Định lý 1.2.22.
Với giả thiết như trong định lí 1.2.20. Ta xét các tính chất sau: i') Sol(AVVI) khác rỗng và bị chặn.
ii') Tồn tại > 0 sao cho với mọi M˜i ∈ Rnìn(i = 1, ..., m) và q˜i ∈
Rn(i = 1, ..., m) mà thoả mãn (1.52) thì tập nghiệm của bài toán AVVI với giả thiết ( ˜Mi,q˜i)(i = 1, ..., m), kí hiệu là Sol(AVVI( ˜Mi,q˜i)) khác rỗng.
Ta có (i0) ⇒ (ii0). Chiều ngược lại cũng đúng chỉ nếu ∆ là tập compact hoặc m = 1.
Nếu tập nghiệm Sol(AVVI)w là khác rỗng và bị chặn thì ∀α > 0tồn tại các hằng số > 0, ρ > 0 sao cho nếu M˜i(i = 1, ...m) là các ma trận nửa xác định dương và có (1.52) thì Sol(AVVI( ˜Mi,q˜i)) khác rỗng và
Sol(AVVI( ˜Mi,q˜i)) ⊂ B¯(0, ρ) (1.56) và
Sol(AVVI( ˜Mi,q˜i)) ⊂ Sol(AVVI)w +αB(0,1). (1.57) Bổ đề 1.2.23.
Với giả thiết như trong định lí 1.2.22 và nếu i') được bảo đảm thì
{ξ ∈ Λ0 : Sol(AVI)ξ 6= ∅}= Λ0. (1.58) Định nghĩa 1.2.24.
Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn. ánh xạ đa trị G : X ⇒ Y
được gọi là Lipschitz trên địa phương tại x∈ domG = {x ∈ X : G(x) 6= ∅}
nếu tồn tại l > 0 và δ >0 sao cho
G(y) ⊂ G(x) + l(ky −xk) ¯B(0,1), với mọi y ∈ B¯(x, δ).
Định lý 1.2.25.
Xét bài toán AVVIw với giả thiết Mi là các ma trận nửa xác định dương. Các khẳng định sau là đúng:
i) Nếu Sol(AVVI)w bị chặn thì nó là tập liên thông.
ii) Nếu Sol(AVVI)w không liên thông thì mỗi thành phần liên thông của nó không bị chặn.
Thật vậy, ta giả sử rằng Sol(AVVI)w không liên thông, nhưng có một thành phần liên thông A của nó là bị chặn. Vì A 6= Sol(AVVI)w nên theo Hệ quả 1.2.6 suy ra
{ξ ∈ Λ : Sol(VI)ξ 6= ∅, Sol(VI)ξ ⊂ A} 6= Λ.
Ta kí hiệu
˜
Λ = {ξ ∈ Λ : Sol(VI)ξ =6 ∅, Sol(VI)ξ ⊂ A}.
VìSol(VI)ξ là một tập lồi vàAlà một thành phần liên thông củaSol(AVVI)w
nên Sol(VI)ξ ⊂A nếu chỉ nếu Sol(VI)ξ ∩A 6= ∅. Vì vậy
˜
Λ = {ξ ∈ Λ : Sol(VI)ξ ∩A 6= ∅}.
và Λ˜ 6= ∅. Ta sẽ chỉ ra rằng Λ˜ là tập vừa mở vừa đóng đối với tôpô cảm sinh của Λ. Ta cố định ξ = (ξ1, ..., ξm) ∈ Λ˜. Giả sử M(ξ) = m P i=1 ξiMi và q(ξ) = m P i=1 ξiqi. Ta áp dụng Bổ đề 1.2.19 có thể tìm được các hằng số (ξ) > 0, ρ(ξ) > 0 và l(ξ) > 0 sao cho nếu
( ˜M ,q˜) ∈ Rnìn ìRn, M˜ là ma trận nửa xác định dương và thoả mãn
max{kM˜ −Mk,kq˜−qk}< ,
thì tập nghiệm bài toán AVI tương ứng với giả thiết ( ˜M ,q˜), kí hiệu là
Sol(AVI( ˜M ,q˜)) thoả mãn các điều kiện sau
Sol(AVI( ˜M ,q˜)) 6= ∅ và Sol(AVI( ˜M ,q˜)) ⊂ B¯(0, ρ(ξ)). Sol(AVI( ˜M ,q˜)) ⊂Sol(AVI(M(ξ), q(ξ))
+ l(ξ)(kM˜ −M(ξ)k+kq˜−q(ξ)k) ¯B(0,1) Ta chọn δ > 0 thoả mãn δ√ m( max i∈{1,...,m}kMik) < ε(ξ) và δ√ m( max i∈{1,...,m}kqik) < ε(ξ).
Bổ đề 1.2.23 áp dụng cho
ξ0 ∈ B(ξ, δ)∩Λ và ( ˜M ,q˜) := (M(ξ0), q(ξ0))
thoả mãn điều kiện (1.49) nên
Sol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) 6= ∅.
Hơn nữa theo (1.50), (1.51) ta có
Sol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) ⊂B¯(0, ρ(ξ))
và
Sol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) ⊂ Sol(AVI(M(ξ), q(ξ)) +l(ξ)(kM(ξ0)−M(ξ)k
+kq(ξ0)−q(ξ)k) ¯B(0,1).
Điều này chứng tỏ rằng hàm đa trị Sol(AVI(M(.), q(.)) : B(ξ, δ)∩Λ⇒ Rn
xác định bởi ξ0 7→ Sol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) là bị chặn đều trên B(ξ, δ) ∩ Λ
và Lipschitz trên địa phương tại ξ. Đặc biệt, hàm đa trị này là nửa liên tục trên tại ξ. Hơn nữa hàm này là nửa liên tục trên trên B(ξ, δ) ∩ Λ. Vì
Sol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) là một tập lồi, khác rỗng với mọiξ0 ∈ B(ξ, δ)∩Λ và vì tính nửa liên tục trên của Sol(AVI(M(.), q(.)) nên tập ảnh
W := [{Sol(AVI(M(ξ0), q(ξ0)) : ξ0 ∈ B(ξ, δ)∩Λ},
là tập liên thông.
Vì Sol(AVI)ξ = Sol(AVI(M(ξ), q(ξ)) có giao khác rỗng với A nhờ cách chọn ξ vàA là một thành phần liên thông của Sol(AVVI)w, ta có thể chỉ ra rằng W ⊂ A. Vì vậy B(ξ, δ)∩Λ ⊂ Λ˜. Do đó Λ˜ là tập mở.
Ta chứng minhΛ˜ là tập đóng. Thật vậy, lấy một dãy bất kì{ξ(j)} ⊂ Λ˜ mà
ξ(j) → ξ¯∈ Λ. Với mỗi j ∈ N ta chọn một x(j) ∈ Sol(AVI)ξ(j) ⊂ A. Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng x(j) → x¯ ∈ ∆. Vì
do đó ta có
hM( ¯ξ)¯x+q( ¯ξ), y−x¯i ≥ 0,∀y ∈ ∆.
Điều này chỉ ra rằng x¯ ∈ Sol(AVI)¯ξ ⊂ Sol(AVVI)w. Do ξ(j) ∈ A với mọi
j ∈ N và A là một tập con đóng của Sol(AVVI)w nên x¯ ∈ A và vì vậy
¯
ξ ∈ Λ˜.
Do Λ˜ là tập vừa mở, vừa đóng nên Λ = ˜Λ. Vô lí. Định lý 1.2.26.
Xét bài toán AVVI với giả thiết Mi là các ma trận nửa xác định dương. Các khẳng định sau là đúng:
i) Nếu Sol(AVVI) bị chặn thì nó là tập liên thông.
ii) Nếu Sol(AVVI) không liên thông thì mỗi thành phần liên thông của nó không bị chặn.
Chứng minh. Chứng minh tương tự định lí 1.2.25.