1. Định nghĩa
Cho R(A1,…,An) là một sơ đồ quan hệ với tập thuộc tính U={A1,…,An}. X và Y là
tập con của U. Ta nói X Y (đọc là: X xác định hàm Y hoặc Y phụ thuộc hàm vào X)
nếu với mỗi cặp bộ u, v của R sao cho:
u[X] = v[X] ⇒ u[Y] = v[Y]
2. Hệ tiên đề Amstrong
a.Định nghĩa hệ tiên đề Armstrong:
Gọi R(U) là lược đồ quan hệ với U = {A1,…,An} là tập các thuộc tính. X, Y, Z, W ⊆ U. Hệ tiên đề Armstrong bao gồm:
F1) Tính phản xạ: Y ⊆ X ⇒ X Y F2) Tính bắc cầu: X Y, Y Z ⇒ X F3) Tính mở rộng hai vế: X Y ⇒ (Z ⊆ U) XZ YZ
b. Định nghĩa tính đầy đủ và tính chặt chẽ của một hệ tiên đề:
Cho tập các phụ thuộc hàm F:
- Một hệ tiên đề S cho các phụ thuộc hàm được gọi là đầy đủ nếu các luật của S cho phép suy diễn ra mọi phụ thuộc hàm trong F+.
- Một hệ tiên đề S cho các phụ thuộc hàm được gọi là chặc chẽ nếu các luật của S không cho phép suy diễn từ F bất kỳ phụ thuộc hàm nào không thuộc F+.
c. Bổ đề 1:
Hệ tiên đề Armstrong là đúng. Có nghĩa là F là tập các phụ thuộc hàm đúng trên
quan hệ R. Nếu X Y là một phụ thuộc hàm được suy dẫn từ F nhờ hệ tiên đề
Armstrong thì X Y là đúng trên quan hệ R.
d. Bổ đề 2:
Từ hệ tiên đề Armstrong suy ra được một số luật sau đây: F4) Cộng tính ở vế phải: X Y, X Z ⇒ X YZ F5) Tính tựa bắc cầu: X Y, YZ W ⇒ XZ W F6) Luật tách: X Y, Z ⊆ Y ⇒ X Z e. Bổ đề 3:
X Y suy dẫn từ hệ tiên đề Armstrong khi và chỉ khi Y ⊆ X+ (X+ là bao đóng của tập các thuộc tính - giới thiệu ở mục sau).
f. Định lý 1:
Hệ tiên đề Armstrong là chặt chẽ và đầy đủ.