Định lý 3.2.1 Cho G = (V, E) là một đồ thị có n đỉnh và e cạnh. Thế thì
G chứa một đồ thị hai nhánh với ít nhấte/2 cạnh.
Chứng minh. Gọi T ⊆ V là một tập con ngẫu nhiên cho bởi Pr[x ∈ T] = 1/2, các cách chọn này là độc lập. Đặt S = V − T. Gọi một cạnh {x, y}
là cắt ngang nếu có đúng một trong hai đỉnh x, y ở trong T. Gọi X là số các cạnh cắt ngang, ta phân tích
X = X
{x,y}∈E
Xxy
với Xxy là biến ngẫu nhiên chỉ số mà {x, y} là cắt ngang. Thế thì
E[Xxy] = 1/2 nên
E[X] = X
{x,y}∈E
E[Xxy] = e/2.
Vậy X ≥ e/2 với một T nào đó và tập các cạnh cắt ngang tạo nên một đồ thị hai nhánh.
Một không gian xác suất chặt chẽ hơn đưa đến một cải tiến nhỏ.
Định lý 3.2.2 NếuG là một đồ thị có 2n đỉnh và e cạnh thì nó chứa một đồ thị hai nhánh với ít nhất en
2n−1 cạnh. Nếu G là một đồ thị với 2n + 1 đỉnh và e
cạnh thì nó chứa một đồ thị con hai nhánh với ít nhất e(n+1)
n-phần tử của V. Cạnh tùy ý{x, y} có xác suất n
2n−1 để là cắt ngang và phần cuối của chứng minh như trước. Khi G có 2n+ 1 phần tử chứng minh tương tự bẳng cách chọn T đều từ các tập con n phần tử của V.
Đây là một ví dụ phức tạp hơn. Gọi V = V1 ∪ . . . ∪ Vk với Vi là các các tập rời nhau cỡ n. Gọi h : [V]k → {−1,+1} là cách tô hai màu các k-tập. Mộtk-tập E là cắt ngang nếu nó chứa đúng một điểm từ mỗiVi. Cho S ⊆ V
đặt h(S) = Ph(E), tổng quét hết các k-tập E ⊆ S.
Định lý 3.2.3 Giả sử h(E) = +1 với mọi tập cắt ngang E. Thế thì có một
S ⊆ V mà
|h(S)| ≥ cknk,
ở đâyck là hằng số dương, độc lập với n.
Bổ đề 3.2.4 Gọi Pk kí hiệu tập tất cả các đa thức thuần nhất f(p1, . . . , pk) bậc k mà các hệ số có giá trị tuyệt đối nhiều nhất là một, p1p2. . . pk có hệ số 1. Thế thì với mọi f ∈ Pk, tồn tại p1, . . . , pk ∈ [0,1]với
|f(p1, . . . , pk)| ≥ ck,
ở đâyck dương và độc lập với f. Chứng minh. Đặt
M(f) = max
p1,...,pk∈[0,1]|f(p1, . . . , pk)|.
Chof ∈ Pk, M(f) > 0khi f không là đa thức không. Vì Pk là compact và
M : Pk → R là liên tục, M phải có giá trị nhỏ nhất ck.
Chứng minh [Định lý 3.2.3] Xác định ngẫu nhiên S ⊆ V bằng cách: Pr[x ∈ S] = pi, x ∈ Vi,
những cách chọn này là độc lập,pi đã biết. ĐặtX = h(S). Với mỗi k-tập E
đặt
XE =
(
h(E) nếu E ⊆ S
Nói E có kiểu (a1, . . . , ak) nếu |E ∩ Vi| = ai,1 ≤ i ≤ k. Với những E này E[XE] = h(E) Pr[E ⊆ S] = h(E)pa1 1 . . . pak k . Kết hợp các số hạng bởi kiểu: E[X] = X a1+...+ak=k pa1 1 . . . pak k . X E có kiểu (a1,...,ak) h(E).
Khi a1 = . . . = ak = 1 mọih(E) = 1 bởi giả thiết nên
X
E có kiểu (1,...,1)
h(E) = nk.
Với những kiểu khác có ít hơn nk số hạng, mỗi cái ±1, nên
| X
E có kiểu (a1,...,ak)
h(E)| ≤ nk.
Vậy
E[X] = nkf(p1, . . . , pk),
ở đây f ∈ Pk, như định nghĩa trong Bổ đề 3.2.4.
Bây giờ chọn p1, . . . , pn ∈ [0,1] với |f(p1, . . . , pk)| ≥ ck. Thế thì
E[|X|] ≥ E[X] ≥ cknk.
Giá trị cụ thể nào đó của |X| sẽ vượt quá hoặc bằng kỳ vọng của nó. Vậy có một tập cụ thể S ⊆ V mà
|X| = |h(S)| ≥ cknk.