Nhắc lại rằng một siêu đồ thịH = (V, E)có tính chấtB (tức là hai sắc), nếu có một cách tô màu cho V bằng hai màu sao cho không có cạnh f ∈ E nào là đơn màu.
Định lý 4.2.1 Cho H = (V, E) là một siêu đồ thị trong đó mỗi cạnh có ít nhấtk phần tử, và giả sử rằng mỗi cạnh củaH giao với nhiều nhất dcạnh khác. Nếue(d + 1) ≤ 2k−1 thì H có tính chất B.
Chứng minh. Tô màu mỗi đỉnh v của H, độc lập và ngẫu nhiên, hoặc xanh hoặc đỏ (với xác suất bằng nhau). Cho mỗi cạnh f ∈ E, đặt Af là sự kiện rằng f là đơn màu. Rõ ràng Pr(Af) = 2/2|f| ≤ 1/2k−1. Hơn nữa, rõ ràng là mỗi sự kiện Af là độc lập với tất cả các sự kiện Af0 khác cho mọi cạnh f0
mà không giaof. Bây giờ kết quả suy ra từ Hệ quả 4.1.2.
Định lý 4.2.2 Chom và k là hai số nguyên dương thỏa mãn
e(m(m− 1) + 1)k(1 − 1 k)
m ≤ 1. (14) Thế thì, cho mọi tậpS củam số thực nào đó có một k-cách tô màu sao cho mỗi phép tịnh tiếnx +S (cho x ∈ R) là đa sắc.
Chứng minh. Chúng ta trước hết cố định một tập hữu hạn X ⊆ R và chỉ ra sự tồn tại của một k-cách tô màu sao cho mỗi phép tịnh tiến x + S (cho
x ∈ X) là đa sắc. Đây là một hệ quả dễ của Bổ đề Địa phương. Thật vậy, đặt Y = ∪x∈X(x + S) và cho c : Y → {1,2, . . . , k} là một cách tô
k màu của Y nhận được theo cách chọn, cho mỗi y ∈ Y, độc lập và ngẫu nhiên, c(y) ∈ {1,2, . . . , k} theo phân phối đều trên {1,2, . . . , k}. Cho mỗi x ∈ X, lấy Ax là sự kiện rằng x + S là không đa sắc (ứng với c). Rõ ràng Pr(Ax) ≤ k(1− k1)m. Hơn nữa, mỗi sự kiện Ax là độc lập với tất cả các sự kiện Ax0 khác trừ ra những sự kiện mà (x + S) ∩ (x0 + S) 6= ∅. Vì có nhiều nhất m(m − 1) sự kiện như vậy, kết quả mong muốn suy ra từ Hệ quả 4.1.2.
Bây giờ chúng ta có thể chỉ ra sự tồn tại của một cách tô màu của tập gồm tất cả các số thực với tính chất mong muốn, bởi một lập luận compact chuẩn. Do một không gian rời rạc với k điểm là compact (tầm thường), Định lý Tikhonov (cái mà tương đương với tiên đề chọn) chứng tỏ rằng một tích tùy ý của các không gian như thế là compact. Đặc biệt, không gian của tất cả các hàm từ R
vào {1,2, . . . , k}, với tích tôpô thông thường, là compact. Trong không gian này cho mọi x ∈ R cố định, tập Cx của tất cả các cách tô màu c, sao cho
x+ S là đa sắc, là đóng. (Thực tế, nó là vừa đóng vừa mở, do một cơ sở của các tập mở là tập của tất cả các cách tô màu mà giá trị của chúng là trong một số hữu hạn của các vị trí). Vì chúng ta đã chứng minh ở trên, giao của một số hữu hạn các tập Cx nào đó là khác rỗng. Vì vậy suy ra, từ tính compact, rằng giao của tất cả các tập Cx là không rỗng. Một cách tô màu nào đó trong giao này có tính chất như trong kết luận của Định lý 4.2.2.