Bài toán với ràng buộc đẳng thức

Giả sử f là một hàm lồi trên X, C là đa tạp tuyến tính song song với không gian conM trongX. Xét bài toán

(P₈)

f(x) −→ⁱⁿf x∈C.

Định Lý 2.5.

a) Giả sử f liên tục tại một điểm củaC, x là một nghiệm của bài toán

(P₈). Khi đó

∂f(x)∩M^⊥ 6= /0. (2.8)

b) Giả sử(2.8) đúng tại∀x∈^{C. Khi đó} xlà nghiệm của bài toán(P₈).

Chứng minh

Ta chú ý rằng

a) Xét hàm

L(x) = f(x) +δ(x|C).

trong đó:δ(x|M|) là hàm chỉ của tậpC. Khi đóL(x) là hàm lồi trênX. Rõ ràngx là nghiệm của bài toán (P₈) khi và chỉ khi hàmL(x) đạt cực tiểu tại x. Theo định lý (2.4) thì

0∈∂L(x).

Do tính liên tục của f, nên ta có thể áp dụng định lý Moreau-Rockafellar, và nhận được

0∈∂L(x) =∂ f(x) +∂δ(x|C).

Từ ví dụ(2.3.3), ta lại có

∂δ(x|C) =N(x|C) =M^⊥.

Do đó ta có: ∂f(x)∩M^⊥6= /0.

b) Giả sử∂ f(x)∩M^⊥6= /0 vớix∈^{C. Khi đó,}∃x^∗ ∈∂f(x)∩M^⊥. Vì x−x∈M vớix∈^{C, cho nên}

0=hx^∗,x−xi 6= f(x)− f(x), (∀x∈C).

Do đóxlà nghiệm của bài toán(P₈).

Định Lý 2.6.

ChoX là không gian Banach, x^∗_i ∈X^∗, αi∈R, (i=1, . . . ,m)và

C ={x∈X :hx^∗_i,xi=αi, (i=1, . . . ,m)}.

Giả sử f là hàm lồi trên X và liên tục tại một điểm củaC. Khi đó,xđạt cực tiểu của hàm f trênC khi và chỉ khi tồn tại các sốλi∈R, (i=1, . . . ,m)

sao cho

λ₁x^∗₁+···+λ_mx^∗_m∈∂ f(x).

Bổ Đề 2.1.

Giả sửX là không gian Banach, x^∗_i ∈X^∗, (i=1, . . . ,m). Đặt

M ={x∈X :hx^∗_i,xi=0, i=1, . . . ,m}.

Khi đó

M^⊥=lin{x^∗₁, . . . ,x^∗_m}.

trong đó linlà kí hiệu bao tuyến tính.

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, ta có thể xem nhưx^∗₁, . . . ,x^∗_n là độc lập tuyến tính. Xét toán tử tuyến tính λ : X −→Rm được xác định như sau

x−→λx= hx^∗₁,xi, . . . ,hx^∗_m,xi . Khi đó, Imλ =Rm. Theo bổ đề (1.1) ta có (Kerλ)^⊥=Imλ∗. Ta lại có (Kerλ)^⊥=M^⊥, Imλ∗ =lin{x^∗₁, . . . ,x^∗₂}. Do đó M^⊥=lin{x^∗₁, . . . ,x^∗_m}. Chứng minh định lý 2.6.

Đa tạp tuyến tínhC song song với không gian conM : M ={x∈X :hx^∗_i,xi=0, i=1, . . . ,m}.

Từ định lý (2.5) suy ra: x đạt cực tiểu hàm f trên C khi và chỉ khi ∃x^∗ ∈ ∂ f(x)∩M^⊥. Theo bổ đề(2.1), ta có

x^∗ ∈M^⊥=lin{x^∗₁, . . . ,x^∗₂}.

Do đó, tồn tại các số λ₁, . . . ,λm sao cho