Trở lại bài toán (P1), những kết quả sau là tổng quát từ những trường hợp cụ thể, và được thể hiện thông qua định lý (1.10) và hai hệ quả quan trọng sau.
Định Lý 1.10. (Nguyên Lý Nhân Tử Lagrange)
Cho hàm f và ánh xạ F khả vi Frechet tại x thỏa mãn F(x) = 0, với các đạo hàm Frechet tại f0(x) vàF0(x). Ảnh của không gianX qua ánh xạ
x −→F0(x)x là đóng. Khi đó, nếu x là cực tiểu địa phương của bài toán
(P1)thì tồn tại các nhân tử Lagrangeλ0 vày∗ không đồng thời bằng không sao cho
L0x(x,λ0,y∗) =λ0f0(x) +F0∗(x)y∗=0 (1.21)
Hơn nữa, nếuF khả vi liên tục theo nghĩa Frechet tại xvà F0(x)X =Y
(F là chính quy), thìλ06=0và có thể xem nhưλ0 =1.
Chứng Minh
Theo giả thiết, F0(x)X là không gian con đóng của không gian Y. Có thể xảy ra một trong hai trường hợp: F0(x)X =Y hoặc F0(x)X $Y.
a)Trường hợpF0(x)X =Y.
Theo định lý Ljusternik, không gian tiếp xúc với tập
M={x∈X : F(x) =0}
tại xtrùng với KerF0(x). Do đó, nếuv∈KerF0(x), thì−v∈KerF0(x), và tồn tại số ε >0, ánh xạ r : [−ε,ε]−→X sao cho
x(t,v) =x+tv+r(t)∈M (∀t ∈[−ε,ε])
trong đó ||r(tt)|| −→0 khi t −→0. Suy ra
F x(t,v)
=0 ∀t ∈[−ε,ε]
Đặt ϕ(t) = f x (t,v)
. Khi đó, ϕ(t) đạt cực tiểu địa phương tại t =0. Do đó
Vì thế f0(x)∈(KerF0(x))⊥.
Do F0(x) là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X lên không gian BanachY, nên theo bổ đề(1.1) ta có
(KerF0(x))⊥=ImF0∗(x)
Vì vậy f0(x)∈ImF0∗(x), tức là, tồn tạiy∗∈Y∗ sao chof0(x) =−F0∗(x)y∗. Điều này có nghĩa là
f0(x) +F0∗(x)y∗=0.
Vậy, ta có
L0x(x,λ0,y∗) =λ0f0(x) +F0∗(x)y∗ =0 với λ0 =1.
b) Trường hợp F0(x)X $Y.
Khi đó, tồn tạiy0 ∈Y\F0(x)X. DoY\F0(x)X là tập mở, nên tồn tại lân cận mởV củay0 sao choV ∩F0(x)X = /0.
Theo định lý Hahn-Banach và hệ quả (1.1) thì∃y∗∈Y∗, y∗6=0sao cho
hy∗,yi>0 (∀y∈V). hy∗,zi =0 (∀z∈ F0(x)X). Do đó, ta có hy∗,F0(x)xi=hF0∗(x)y∗,xi=0 (∀x∈X). Suy raF0∗(x)y∗=0. Chọnλ0 =1thì L0x(x,0,y∗) =F0∗(x)y∗ =0. Nhận Xét 1.4.
• Trong trường hợp F0(x)X =Y ta luôn cóλ06=0. Thật vậy, nếuλ0=0
thì ta có
hy∗,F0(x)xi=hF0∗(x)y∗,xi=0 (∀x∈X)
Từ các điều kiện chính quy, suy ra y∗ = 0. Điều này mâu thuẫn với điều kiện của các nhân tử Lagrange là không đồng thời bằng không.
• Phương trình (1.21) được gọi là phương trình Euler-Lagrange của bài toán (P1). Từ phương trình này ta thấy, x là điểm dừng của hàm Lagrange.
Chúng ta có hai trường hợp đặc biệt của bài toán(P1)
1) Trường hợp 1: Cho X,Y là các không gian hữu hạn chiều, khi đó bài toán có dạng
(P5)
f0(x)−→in f
f1(x) =0, . . . , fn(x) =0 (1.22)
trong đó, các nhân tử Lagrange là các số λ0, . . . ,λn sao cho hàm Lagrange có dạng L(x,λ0, . . . ,λn) = n ∑ i=0 λifi(x). Hệ Quả 1.2.
Cho các hàm số f0, . . . , fn thuộc lớpC1 tại xthỏa mãn điều kiện(1.22). Khi đó, nếu x là cực tiểu địa phương của bài toán (P5) thì tồn tại các số
λ0, . . . ,λn không đồng thời bằng không sao cho
λ0f00(x) +···+λnfn0(x) =0.
Hơn nữa, nếu các hàm f10(x), . . . , fn0(x) là độc lập tuyến tính thì λ0 6=0, và có thể coiλ0 =1.
Nhận Xét 1.5.
Chứng minh của hệ quả (1.2) được suy ra trực tiếp từ định lý (1.10), và như đã nêu trong định lý (1.2) thì điều kiện chính quy của ánh xạ
x −→ f1(x), . . . ,fn(x)
có nghĩa đơn giản là các hàm f10, . . . , fn0 độc lập tuyến tính.
2) Trường hợp thứ hai phát sinh khi ánh xạ F trong bài toán (P1) có thể phân tích thành một ánh xạ chính quy vào một không gian Banach và một ánh xạ vào Rn. Khi đó, bài toán có dạng
(P6) f0(x)−→in f F(x) =0 (1.23) f1(x) =0, . . . ,fn(x) =0 (1.24)
Hệ Quả 1.3.
Cho các hàm số f0, . . . , fn và ánh xạF thuộc lớpC1 tạixthỏa mãn đẳng thức (1.23) và(1.24). Giả thiết rằng ánh xạF là chính quy tại điểm x. Nếu x là cực tiểu địa phương của bài toán (P6) thì tồn tại các số λ0, . . . ,λn và một vectơy∗ không đồng thời bằng không sao cho
λ0f00(x) +. . .+λnfn0(x) +F0∗(x)y∗ =0.
Chứng minh của hệ quả (1.3) cũng được suy ra trực tiếp từ định lý
CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI.
Chương này dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bài toán tối ưu lồi, thông qua việc sử dụng các nhân tử Lagrange và khái niệm về dưới vi phân. Các kết quả của chương này là của A. D. Ioffe [1], Đỗ Văn Lưu và Phan Huy Khải [4].
2.1. Một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi
Trong mục này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi, đặc biệt là định lý Moreau-Rockafellar về phép tính dưới vi phân của tổng các hàm lồi.