Giải một bài toán dựng hình là tìm đợc 1 hình thoả mãn những điều kiện trong bài toán.
Nói nh thế cha đủ, vì điều kiện quan trọng là dùng những dụng cụ gì để dựng hình. Bởi vì trong thực tiễn cuộc sống đòi hỏi tính hiệu quả của công việc. Hiệu quả càng cao thì công việc có giá trị. Làm sao khi dựng hình, số lợng dụng cụ sử dụng là ít nhất.
Ví dụ với bài toán "dựng một góc bằng 200, lấy 1 tia cho trớc làm cạnh", nếu dùng thớc đo góc thì bài toán rất đơn giản, nhng nếu chỉ dùng thớc và compa thì bài toán này không giải đợc! (ngời ta đã chứng minh rằng chỉ dùng thớc và compa thì không thể dựng đợc 1 góc = 200).
2.1.2.1. Tại sao chỉ dùng thớc và compa?
Các nhà toán học cổ HiLạp chỉ xem phép dựng dùng thớc và compa là hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và không công nhận việc sử dụng các dụng cụ khác để dựng hình.
Quan điểm đó vẫn tồn tại cho đến ngày nay. Họ cũng đã thành công trong việc giải những bài toán dựng hình rất khó bằng thớc và compa. Họ coi thớc kẻ là vô hạn vì chỉ có một cạnh , coi compa có tính chất dùng để vẽ những đờng tròn có bán kính tuỳ ý.
* Tiên đề chung:
a) Tất cả những dữ kiện trong đề bài toán dựng hình (điểm, đờng thẳng, đờng tròn ) đều coi là dựng đ… ợc.
b) Những điểm lấy tuỳ ý trong mặt phẳng (để bổ sung các dữ kiện đều coi nh là dựng đợc).
c) Nếu hai đờng thẳng dựng đợc mà cắt nhau thì giao điểm của chúng coi nh là dựng đợc.
* Tiên đề về cái thớc:
d) Một đờng thẳng xác định bởi hai điểm dựng đợc thì coi nh dựng đợc.
* Tiên đề về cái compa:
đ) Một đờng tròn xác định bởi một tâm dựng đợc, một bán kính dựng đợc thì coi nh dựng đợc.
Hai tiên đề d và đ biểu thị dới hình thức trừu tợng về cái thớc và compa. Theo hai tiên đề này thì muốn thực hiện một phép dựng hình bằng thớc và compa thì phải có ít nhất hai điểm. Nhng nhiều khi trong đề bài chỉ có một điểm hoặc không có điểm nào cả.
Chẳng hạn:
+) Cho một đờng thẳng và một điểm trên đó, dựng tại điểm đó đờng vuông góc với đờng thẳng. ở đây chỉ có một điểm cho trớc tức là dựng đợc.
+) Cho hai đờng thẳng giao nhau. Dựng phân giác của góc tạo thành. ở đây chỉ có một điểm dựng đợc. (Theo tiên đề c).
+) Cho một đờng tròn. Dựng tâm của nó. ở đây không có điểm dựng đợc nào cả.
2.1.2.2. Giải một bài toán dựng hình bằng thớc và compa là chỉ rõ thứ tự áp dụng các tiên đề a, b, c, d, đ ở trên để đa những tiên đề cha biết về những yếu tố dựng đợc.
Qua một điểm A ở ngoài một đờng thẳng d dựng đờng thẳng song song với d.
Cách giải nh sau:
a) Chọn một điểm M tuỳ ý trên d (tiên đề b) và dựng đờng tròn tâm M bán kính MA (phép dựng tơng ứng với tiên đề đ).
b) Dựng đờng tròn tâm A bán kính AM (tiên đề đ).
c) Lấy giao điểm B của đờng tròn thứ nhất với đờng thẳng d (tiên đề c). d) Dựng đờng tròn tâm M bán kính BA (tiên đề đ).
e) Kẻ đờng thẳng qua A và P (tiên đề d).
Tóm lại giải bài toán dựng hình trên đòi hỏi phải lần lợt áp dụng các tiên đề b, đ, đ, , c, đ, c, d. (Dĩ nhiên trớc hết bao giờ cũng là tiên đề a).
Chú ý: Tuy nhiên nhiều khi ngời ta không nêu hai tiên đề a và b mà phát biểu gọn nh sau:
Giải một bài toán dựng hình bằng thớc và compa là thực hiện 1 số có hạn ba phép dựng cơ bản sau:
a) Kẻ đờng thẳng đi qua 2 điểm đã biết (tiên đề về cái thớc).
b) Dựng đờng tròn có tâm đã biết và bán kính đã biết (tiên đề về cái compa). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
c) Lấy giao điểm của 2 đờng thẳng đã biết (tiên đề c).
2.1.2.3. Dựng hình bằng các dụng cụ khác.
Nếu không dùng thớc và compa mà dùng những dụng cụ khác để dựng nh: Thớc thẳng có 2 biên, Êke, thì ta vẫn dùng 3 tiên đề a, b, c còn hai tiên đề d, đ đợc thay bằng những tiên đề phản ánh tính chất của những dụng cụ mới.
a) Dựng hình bằng thớc có hai biên: - Tiên đề về thớc thờng (dùng 1 biên). a p m b d
- Một đờng thẳng song song với một đờng thẳng dựng đợc và cách nó một khoảng d thì xem nh dựng đợc (hằng số d ứng với bề rộng của thớc 2 biên).
- Nếu có hai điểm dựng đợc A và B và AB > d thì hai cặp đờng thẳng cách nhau một khoảng d và theo thứ tự đi qua A và B đợc xem nh dựng đợc.
Ví dụ: Dựng phân giác của góc xOyã .
Cách dựng:
- Dựng x'//x và cách x một khoảng d (tiên đề). - Tơng tự dựng y'//y (tiên đề).
- Lấy giao điểm A của x' và y' (tiên đề c). - Vẽ đờng thẳng qua O và A (tiên đề d). b) Dựng hình bằng Êke.
- Đờng thẳng đi qua 1 điểm dựng đợc tạo với một đờng thẳng dựng đợc một góc α bằng
900, 600, 300 hoặc 900 và 450, thì xem nh dựng đ- ợc (**).
- Một điểm của một đờng thẳng dựng đợc mà từ đó ta thấy 2 điểm dựng đợc dới một góc α thì xem nh dựng đợc (.).
Eke thờng có ba góc 900, 600 và 300 hoặc 900 và 450.
Ví dụ: Gấp đôi một đoạn thẳng AB bằng Eke.
- Qua B dựng đờng thẳng tạo với AB một góc 600 và qua A dựng đờng vuông góc với AB (tiên đề **).
- Lấy giao điểm của hai đờng vừa dựng (tiên đề c).
- Trên BA kéo dài dựng điểm C nhìn BD dới góc 600 (tiên đề (.) ) hoặc qua D dựng đờng thẳng tạo với BD một góc 600.
2.1.2.4. Giá trị lý luận và thực tế của các dụng cụ dựng hình.
Bốn dụng cụ; Compa, thớc, thớc hai biên và eke đều quan trọng nh nhau về giá trị lý luận chặt chẽ, chính xác và giá trị thực tế của chúng trong đời sống và sản xuất. o a x x' y' y d
Năm 1787 nhà khoa học ý MaxkêRôni đã chứng minh rằng:
Bất kỳ bài toán nào có thể giải đợc bằng thớc và compa đều có thể giải đ- ợc bằng một mình compa thôi.
Năm 1890 Ađơle đã chứng minh rằng: Bất kỳ bài toán nào giải đợc bằng thớc và compa đều có thể giải đợc bằng một cái thớc hai biên hoặc bằng eke.
Trong thực tế kinh nghiệm cho thấy rằng ba dụng cụ: Compa, thớc và eke là những dụng cụ cần thiết và tiện lợi nhất cho ngời vẽ.