Bài toán 1: Dựng đờng tròn nội tiếp trong một tam giác cho trớc. - Phân tích: Giả sử ∆ABC là tam giác
cho trớc và O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác đó, tiếp xúc cạnh AB tại M.
i
t
Ta có OM ⊥ AB , vì O cách đều ba cạnh của tam giác nên OA, OB, OC là các tia phân giác trong của các góc của ∆ABC.
- Cách dựng: - Trớc hết dựng các tia phân giác của hai góc bất kỳ của ∆ đã cho rồi lấy giao điểm O của chúng.
- Qua O dựng đờng vuông góc với đờng thẳng AB. đợc điểm M là chân đờng vuông góc này.
- Dựng đờng tròn tâm O bán kính OM.
Chứng minh: Đờng thẳng AB tiếp xúc với đờng tròn (.) vì nó vuông góc bán kính OM. Tâm O lại cách đều ba cạnh của ∆, (Vì O là giao điểm của các tam giác trong của ∆ nên OM = ON = OP). Do đó các đờng thẳng AC và BC theo thứ tự vuông góc với các bán kính của ON và OP tại đầu mút của chúng; suy ra mỗi đờng thẳng trên tiếp xúc với đờng tròn (O).
Vậy (O, OM) là đờng tròn phải dựng. - Biện luận; Bài toán có một nghiệm hình.
Chú ý: Có thể giải bài toán tơng nh sau: "Dựng đờng tròn ngoại tiếp 1 tam giác cho trớc".
Tâm M của đờng tròn ngoại tiếp phải cách đều 3 đỉnh của ∆. nên M là giao điểm ba đờng trung trực của ∆ đã cho.
Nếu là : "Dựng đờng tròn bàng tiếp của 1 tam giác cho trớc" thì ta có thể tìm tâm là giao điểm của phân giác trong 1góc và phân giác ngoài của hai góc còn lại. Ta dựng đợc ba đờng tròn bàng tiếp của ∆.
Bài toán 2: Dựng một đờng tròn tiếp xúc với một đờng tròn cho trớc tại một điểm cho trớc thuộc đờng tròn đó và tiếp xúc với một đờng thẳng cho trớc.
- Phân tích: Giả sử đờng tròn (O) đã dựng đợc qua điểm M trên đờng tròn (I) cho
m p
p
x
y
trớc và đồng thời tiếp xúc với (I) và với đờng thẳng d cho trớc.
Tâm O phải nằm trên đờng thẳng IM. Hai đờng tròn tâm (O) và (I) phải có chung một tiếp tuyến MT qua M nên O lại phải nằm trên phân giác đi qua giao điểm P của d và Mt.
+ Cách dựng: - Dựng tia IM.
- Qua M dựng tiếp tuyến MT của (I) cắt tại P. - Dựng phân giác của góc dptả cắt tia IM tại O. - Dựng đờng tròn tâm O bán kính OM.
Đó chính là đờng tròn phải dựng.
+ Chứng minh: - Ta có OQ ⊥ d. Vì OQ = OM (O nằm trên phân giác góc dptả ) nên đờng tròn (O) tiếp xúc với d.
Đờng tròn (O) lại tiếp xúc với (I) vì điểm M nằm trên đờng thẳng OI nối tâm của chúng.
+ Biện luận: - Vì Phơng trình và d cắt nhau tạo thành hai góc của góc tpx cắt MI kéo dài tại một điểm O', đờng tròn tâm O' này tiếp xúc với d đồng thời tiếp xúc trong với (I). Do đó bài toán có hai nghiệm hình.
- Nếu IM ⊥d thì chỉ có một nghiệm hình. Chú ý; Ta có các bài toán tơng tự sau đây. 1) Dựng đờng tròn tiếp xúc với
1 cạnh của góc cho trớc và tiếp xúc với cạnh kia tại một điểm cho trớc.
Giả sử đờng tròn (O) đã dựng đ- ợc tiếp xúc với cạnh Px và với cạnh Py tại điểm M của góc xPy. Tia có cách dựng nh nhau.
m O I y B y n o2 o1 o
- Dựng phân giác của góc xPy.
- Dựng đờng vuông góc với Dy tại M.
Giao điểm O tia phân giác và đờng vuông góc chính là tâm đờng tròn phải dụng.
2) Đờng tròn đi qua một điểm cho trớc và tiếp xúc với 1 đờng tròn cho tr- ớc tại một điểm cho trớc.
Giả sử đờng tròn (I) đã dựng đợc tiếp xúc với 1 đờng tròn (O) đã cho tại điểm A và đi qua điểm B.
Ta thấy rằng tâm I phải nằm trên. - Đờng thẳng OA vì tiếp xúc với đờng tròn đã cho tại A.
- Đờng trung trực xy của AB vì đ- ờng tròn phải đi qua A và B.
Giao điểm của OA và xy là tâm I của đờng tròn phải dựng. Bài toán có một nghiệm hình nếu B không nằm trên tiếp tuyến chung MN và vô nghiệm nếu B nằm trên MN.
Nếu A trùng với B thì mọi đờng tròn có tâm O trên OA đi qua A sẽ thoả mãn bài toán; Có vô số nghiệm hình.
3) Dựng đờng tròn tiếp xúc ngoài với 3 đờng tròn bằng nhau cho trớc.
Giả sử đờng tròn (O) đã dựng đợc tiếp xúc với 3 đờng tròn bằng nhau (O1), (O2), (O3). Ta thấy rằng tâm O phải cách đều tâm ba đờng tròn đã cho tức là OO1
b p a n c m h kính đờng tròn cần tìm và r là bán kính các đờng tròn bằng nhau cho trớc.
Suy ra cách dựng sau: Dựng đờng trung trực của O1O2 và đờng trung trực của O2O3. Chúng cắt nhau tại O là tâm đờng tròn phải dựng.
Rõ ràng nếu ba điểm O1, O2, O3 thẳng hàng thì bài toán vô nghiệm.
Bài tập:
Bài 1: Cho trớc ba điểm M,N,P, dựng ∆ABC sao cho chân ba đờng cao của nó theo thứ tự là M,N,P.
Bài 2: Dựng ∆ABC biết đáy BC, góc A = αvà trung tuyến AM = m.
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB = a. Dựng trên đoạn AB điểm M sao cho AM2 = a (A - AM). (Bài toán về phép phân chia hoàng kim).
Gợi ý:
Bài 1: Giả sử ∆ABC đã dựng đợc và ba đờng cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Vận dụng tính chất "chân ba đờng cao của một tam giác tạo thành ba đỉnh của 1 tam giác mới mà ba đờng cao là phân giác của ba góc của tam giác mới".
Ta có cách dựng sau:
- Nối ba điểm M,N,P đợc ∆MNP. - Dựng hai phân giác của ∆MNP cắt nhau tại H.
- Dựng qua M,N,P các đờng vuông góc với HM, HN, HP cắt nhau tại A, B, C.
Tam giác ABC là tam giác cần dựng.
Bài 2: Dựng đợc đáy BC ta chỉ cần xác định vị trí đỉnh A, đỉnh A phải nằm trên cung chứa góc α dựng trên BC đồng thời nằm trên đờng tròn tâm là trung điểm của BC bán kính bằng m.
Ta đợc 4 tam giác bằng nhau, nhng bài toán chỉ có 1 nghiệm hình.
Bài 3: Lu ý: Biểu thức x2 = a(a - x) có thể viết x x a a x=
− .
Nh vậy x là đoạn trung bình nhân giữa a và a - x ta còn nói rằng đây là phép chia AB theo trung và ngoại tỷ. Bài toán dựng hình nổi tiếng này đợc gọi là phép chia hoàng kim.