4.5.1. Hệ thức.
Quan sát vết của electron, hạt α … trong buồng Wilson, người ta cho rằng đĩ là các hạt theo nghĩa thơng thường (cĩ quĩ đạo xác định). Mặt khác các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ lại chứng tỏ rằng các hạt ấy cĩ tính chất sĩng. Rõ ràng lưỡng tính sĩng hạt của các hạt vi mơ khơng cho phép ta gán cho chúng tồn bộ những tính chất của hạt hay của sĩng. Phải cĩ một giới hạn nào đĩ cho việc áp dụng vào các vật vi mơ những khái niệm đặc trưng cho các hạt trong cơ học cổđiển.
Trong cơ học cổ điển trạng thái của các hạt một thời điểm được đặc trưng bằng một vị trí nhất định trong khơng gian và một động lượng nhất định. Vị trí và động lượng ấy cĩ thể đồng thời xác định một cách chính xác. Vì hạt vi mơ cĩ tính chất sĩng nên khơng thểđặc trưng trạng thái của nĩ như vậy được. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp cĩ thể diễn tả hạt vi mơ một cách gần đúng bằng những khái niệm vị trí và động lượng cổ điển. Mức độ thích hợp của những khái niệm này được xác định bởi những hệ thức được gọi là hệ thức bất định.
Chùm electron chuyển động theo phương 0y với vận tốc v, trên màn chắn M cĩ khe rộng b đặt vuơng gĩc với chùm tia. Trên màn E quan sát thấy hiện tượng nhiễu xạ, tương tự như nhiễu xạ ánh sáng qua khe hẹp. Sự phân bố cường độ nhiễu xạ l(ϕ)
được biểu diễn hình 4.4 cực đại bậc 0 ứng với gĩc nhiễu xạ ϕ = 0, cực tiểu thứ nhất ứng với
b
λ ϕ=
sin , λ - bước sĩng electron.
ðại bộ phận cường độ nhiễu xạ tập trung ở cực đại giữa nên ta cĩ thể bỏ qua các cực đại ở hai bên. Nếu quan niệm electron dưới dạng các hạt cơ học thì ta phải nĩi các hạt cĩ vận tốc v bay theo hướng 0y đến khe. Lúc qua khe tọa độ x được xác định trong khoảng từ 0 đến b.
b x≤ ≤
0
Nĩi cách khác, vị trí của hạt trong khe được xác định với độ bất định: ∆x≈b (4 - 26)
Sau khe cĩ nhiễu xạ nghĩa là vận tốc của hạt khơng song song với oy mà cĩ thành phần theo ox. Do đĩ động lượng px = 0 khi electron chưa qua khe, bây giờ cĩ giá trị nằm trong khoảng:
b p p px ≤ ϕ = λ ≤ sin 0 Cĩ thể lấy khoảng giá trịấy làm bậc lớn độ bất định về px: b h b h b p px ≈ = = ∆ λ λ λ . (4 - 27) Do đĩ: ∆ ∆ ≈px. x h Tương tự: ∆py.∆y≈h (4 - 28) ∆pz.∆z≈h 4.5.2.Ý nghĩa triết học của hệ thức. -Các hệ thức (4 - 28) chứng tỏ vị trí và động lượng của hạt khơng xác định đồng thời. Vị trí càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định và ngược lại.
Thí dụ: Trong nguyên tử, electron chuyển động trong phạm vi 10-10 m (kích thước nguyên tử) như vậy độ bất định về vị trí ∆ x = 10-10 m, do đĩ độ bất định về vận tốc: 34 6 31 10 6, 02.10 7.10 / . 9,1.10 .10 x x P h v m s m x m − − − ∆ ∆ = ≈ = ≈ ∆
∆vx khá lớn: electron khơng cĩ vận tốc xác định nghĩa là electron khơng chuyển động theo một quĩ đạo xác định trong nguyên tử. ðiều này chứng tỏ trong thế giới vi mơ khái niệm quỹđạo các vi hạt khơng cĩ ý nghĩa.
-Về nguyên tắc hệ thức bất định áp dụng cho mọi hạt nhưng đối với các hạt vĩ mơ thơng thường giới hạn chính xác mà hệ thức bất định nêu lên vượt rất xa giới hạn chính xác các dụng cụđo lường tối tân nhất cĩ thể đạt được cho nên trong thực tế khơng cần chú ý đến hệ thức bất định khi xét chuyển động của các hạt vĩ mơ.
-Hệ thức bất định đối với năng lượng.
Ngồi các hệ thức bất định trên, trong cơ học lượng tử người ta cịn tìm được hệ thức bất định giữa năng lượng W và thời gian t.
∆ ∆ ≈E t. h (4 - 29)
Nếu năng lượng của hệở một trạng thái nào đĩ càng bất định thì thời gian để tồn tại ở trạng thái đĩ càng ngắn và ngược lại. Tĩm lại trạng thái cĩ năng lượng bất định là trạng thái khơng bền cịn trạng thái cĩ năng lượng xác định là trạng thái bền.
4.6. Hàm sĩng.
4.6.1. Hàm sĩng.
ðể mơ tả trạng thái chuyển động của vi hạt ta dùng khái niệm hàm sĩng. Theo giả thuyết de Broglie, chuyển động của hạt tự do được mơ tả bởi hàm sĩng, tương tự như sĩng phẳng ánh sáng đơn sắc. ( .) 0.e−iωt k r− Ψ = Ψ (4 - 30) ψ0: biên độ sĩng được xác định bởi: 2 2 * 0 ψ ψψ ψ = = ψ∗: liên hợp phức của ψ
Biểu thức ( 4 – 30 ) gọi là hàm sĩng de Broglie. Cịn nĩi chung với các hạt vi mơ chuyển động trong trường thế hàm sĩng của nĩ là một hàm phức tạp của tọa độ r và thời gian t.
( , )r t ( , , , )x y z t
Ψ = Ψ
4.6.2.Ý nghĩa thống kê của hàm sĩng.
Trên đây ta nĩi rằng electron cĩ lưỡng tính sĩng hạt giống như ánh sáng vừa là sĩng điện từ vừa là photon. Nhưng sĩng electron (sĩng de Broglie nĩi chung) về bản chất khác hẳn sĩng điện từ. Sĩng điện từ là sĩng thực sinh ra do dao động của
các đại lượng vật lí thật - vectơ E và H - lan truyền trong khơng gian thật, cịn sĩng de Broglie khơng diễn tả sự lan truyền dao động vật lí thực nào. Tuy nhiên về lưỡng tính sĩng hạt của ánh sáng (sĩng điện từ - photon) cũng như các hạt khác (sĩng de Broglie - electron) phải cĩ nội dung thống nhất, nên ta cĩ thể tìm hiểu ý nghĩa của hàm sĩng de Broglie bằng cách đối chiếu các hệ quả của nĩ với sĩng điện từ.
Với cách giải thích hiện tượng nhiễu xạ:
- Trên quan điểm sĩng, theo đĩ cường độ nhiễu xạ tại một điểm trên màn quan sát tỉ lệ với bình phương hàm sĩng (biên độ dao động) tại điểm ấy: I ~ a02.
- Trên quan điểm hạt, cường độ nhiễu xạ tại một điểm nào đĩ trên màn tỉ lệ với số photon cĩ khả năng đập vào điểm ấy trong một đơn vị thời gian.
- Mở rộng cho sĩng de Broglie, |ψ|2
tại một điểm nào đĩ tỉ lệ với số electron cĩ khả năng đập vào điểm ấy trong một đơn vị thời gian. Tuy nhiên tính chất sĩng de Broglie khơng những chỉ cĩ ở những chùm chứa nhiều electron, chuyển động của từng electron riêng rẽ cũng mang tính chất sĩng. Cho nên sự kiện quan sát hình ảnh nhiễu xạ trên màn chỉ cĩ thể đốn nhận một cách thống kê. (Bởi vì người ta chụp được hình ảnh nhiễu xạ gây nên bởi dịng electron rất yếu đi qua bột tinh thể litium (Li) cũng giống như ảnh nhiễu xạ chùm nhiều electron đồng thời qua tinh thể).
Từng hạt riêng rẻ rơi vào điểm nào đĩ trên màn quan sát đĩ là hiện tượng ngẫu nhiên, nhưng sau khi đếm số lớn hạt lần lượt đi qua tinh thể thì hình thành một qui luật cường độ nhiễu xạ tại một điểm (số hạt cĩ khả năng đập vào điểm ấy) tỉ lệ với bình phương hàm sĩng de Broglie tại điểm ấy. Nĩi cách khác bình phương hàm sĩng de Broglie tại một điểm tỉ lệ với xác suất tìm thấy electron tại điểm ấy.
Kết quả được chính xác hố thêm về phương diện tốn học.
Xét quanh điểm M (x,y,z) mọi yếu tố thể tích dV = dx.dy.dz khi đĩ:
2 * ( , , ) .x y z dV ( , , ).x y z ( , , ). .x y z dx dy dz. Ψ = Ψ Ψ : Biểu diễn xác suất tìm thấy trong yếu tố thể tích dV quanh M(x,y,z). Từ đĩ, đại lượng |ψ(xyz)|2 = ψ.ψ∗ biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt trong yếu tố thể tích đơn vị bao quanh M.
Khi tìm trong tồn bộ khơng gian, chúng ta chắc chắn sẽ tìm thấy hạt, nghĩa là xác suất tìm hạt trong tồn bộ khơng gian sẽ là:
2 1 V dV Ψ = ∫∫∫ ( 4 – 31 ) Biểu thức ( 4 – 31 ) gọi là điều kiện chuẩn hố hàm sĩng.
Tĩm lại trạng thái của một hạt được mơ tả bởi hàm sĩng ψ và |ψ|2
biểu diễn mật độ xác suất tìm hạt tại trạng thái đĩ.
Hàm sĩng ψ khơng mơ tả một sĩng thực nào trong khơng gian mà chủ yếu cho phép ta tính xác suất tìm thấy hạt tại một trạng thái nào đĩ.
Nĩi cách khác hàm sĩng mang tính thống kê.