Điều này biểu hiện cho các SNR của lượng tử hóa một tín hiệu Gauss phân phối ngẫu nhiên với phương sai đo
2
f
σ
có thể được chứng minh bằng cách lượng tử hóa tín hiệu đó để m bit trên phạm vi
min 4 f f = −µ σ t to ax 4 m f f = +µ σ
Và tính toán phương sai của lượng tử hóa lỗi
2
n
σ
. Kết quả SNR cần đáp các mối liên hệ :
210 2 10 2 10log [ f ] (6.02 7.26) n SNR σ m dB σ = = −
SNR của nhiễu tín hiệu tương tự sau khi lượng tử hóa 8 bit 8 41
SNR ≅ dB
, nếu lượng tử đến 16 bit (phổ biến trong máy nghe đĩa CD), 16
89
SNR ≅ dB
. SNR tốt nhất mà có thể thu được từ ghi âm tương tự (Ví dụ như trên băng từ) là khoảng 65dB, tương đương với từ một tín hiệu số hóa 12 bit cho mỗi mẫu hoặc 4096 màu xám các mức độ. Mặt trái của vấn đề này là để xác định tính hiệu quả của lượng tử bit sau khi số hóa tín hiệu nhiễu analog. Vấn đề này đã được nêu ra bở Shannon năm 1948. Các tín hiệu tương tự được đặc trưng bở một phần băng thông của nó Δν [Hz], mà là tín hiệu tương tự của các khái niệm về tốc độ dữ liệu kỹ thuật số [bits trên giây]. Các băng thông là chiều rộng của vùng hỗ trợ của phổ tín hiệu (Biến đổi Fourier của nó).
Khi lấy mẫu và lượng tử hóa tín hiệu analog tiếng ồn, tỷ lệ bit được xác định bở tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu của tín hiệu tương tự. Theo Shannon, băng thông Δν của một kênh truyền dẫn có liên quan đến kỹ thuật số dữ liệu tối đã max
R
và tỷ số công suất tín hiệu trên nhiễu không nguyên thông qua SNR
ax 2 its ( ) (2. ) log [1 ] sec m b R = ∆v +SNR
Shannon định nghĩa SNR là tỷ lệ của công suất tín hiệu cao với mức trung bình nguồn tín hiệu nhiễu trắng. Điều quan trọng cần lưu y rằng SNR trong phương trình này là tỷ lệ không nguyên là không nén thông qua logarit và không được đo lường trong dB. Yếu tố thứ 2 cần cho tài khoản cho các tần số âm của tín hiệu. Số lượng 2
log [1+SNR] là số bit lượng tử hóa có hiệu quả và có thể được nhìn thấy trực giác theo cách sau: Nếu tổng dài tín hiệu động, phạm vi của tín hiệu có biên độ là S, dải tín hiệu động của nguồn tín hiệu là
2
S
. Nếu phương sai của nguồn tiếng ồn là
2
σ
, sau đó là số hiệu của quá trình
chuyển đổi lượng tử hóa là nguồn SNR, hoặc
22 2
S
σ
.Các cấp số của lượng tử hóa là 1+SNR, và kết quả bit lượng tử hóa là 2
log [1+SNR] .
Một cách khác để thay đổi lỗi của lượng tử hóa là sử dụng một bộ lượng tử với bộ nhớ, điều đó cóa nghĩa rằng giá trị lượng điểm ảnh được xác định bở một phần các lỗi lượng tử hóa tại các điểm ảnh lân cận. Một sơ đồ của bộ lượng tử với bộ nhớ là :
Hình 4: Sơ đồ bộ lượng tử với bộ nhớ
Một phương pháp đơn giản để lượng tử hóa với bộ nhớ nói chung là kết quả trong giảm tổng lỗi mà không có một một tiên nghiệm của các số liệu thống kê của hình ảnh đầu vào và không có thêm nhiều bổ sung tính toán phức tạp được giới thiệu bở Floyd và Steinberg. Như một phương tiện để mô phỏng hình ảnh cấp độ màu xám hình ảnh nhị phân hiển thị và được biết đến như phân bố lỗi. Nó được dễ dàng thích nghi đến đa lượng tử hóa hình ảnh. Như được chỉ ra bở tên, trong phân bố lỗi lượng tử hóa là từ một trong
thức đơn giản của nó, tất cả các lỗi của lượng tử hóa tại một trong những điểm ảnh được thêm vào mức xám của điểm ảnh tiếp theo trước khi lượng tử hóa. Trong trường hợp 1-D, lượng tử hóa mức tại vị trí mẫu x là mức xám của mẫu trừ lỗi
[x 1] ε − các điểm ảnh trước. [ ] { [ ]} [ 1]} [ ] [ ] [ ] [ ] { [ ] [ 1]} q q f x Q f x x x f x f x f x Q f x x ε ε ε = − − = − = − − −
Một cuộc thảo luận về việc sử dụng các phân bố lỗi trong ADC được đưa ra bở Anastassiou (IEEE Trans)
Các ví dụ dưới các trang sau đây, chứng minh những ảnh hưởng của lượng tử hóa nhị phân hình ảnh màu xám. Những hình ảnh của đoạn đường nối chứng mình ly do rằng tại sao bộ lượng tử hóa với bộ nhớ thường được gọi là mật độ xung điều chế. Lưu y rằng các hình ảnh khuếch tán lỗi truyền tải thêm thông tin về chi tiết tốt hơn so với những hình ảnh từ bộ nhớ của bộ lượng tử hóa.
Hình 5: Hình ảnh hiển thị của hệ thống chuyển đổi từ số tới analog
2-D lỗi khuếch tán lượng tử hóa trong ba hình ảnh có độ xám khác nhau
Trường hợp a : tuyến tính đoạn đường nối hình ảnh, sau khi lượng tử hóa mức trung bình xám, và sau khi Floyd-Steinberg lỗi khuếch tán ở cấp trung bình xám. Trường hợp b : trình tự như hình a với Lincoln. Trường hợp c: cùng trình tự cho “biberty” các hình ảnh khuếch tán lỗi chuyển tải thông tin thêm về lớn hơn trong không gian tần số.