* Ví dụ 1: Minh hoạ “Ảnh của một hình qua phép vị tự”. - Dựng điểm O. Sử dụng chức năng., “Gõ số và đơn vị “ nhập một số thực k ≠ 0. - Dựng hình H và ảnh Hệ của nó qua phép vị tự tâm O tỉ số k (V0k).
- Khi thay đổi các yếu tố tạo nên hình H, ta có ngay sự thay đổi tương ứng của hình H’.
- Cho thay đổi giá trị của k khi đó hình vẽ
cũng thay đổi theo, đặc biệt các giá trị k = 1 (phép đồng nhất) và k = -1 (phép đối xứng tâm O).
* Ví dụ 2: Minh hoạ"Nếu phép đối xứng trục biến hai điểm bất kỳ M và N thành hai
điểm M', N’ thì MN = M N’ ".
Các bước thao tác với Cabri như sau: - Dựng đường thẳng d.
- Dựng hai điểm M, N.
- Dựng ảnh M’ của M và N’ của N qua phép đối xứng trục d (Đd)
- Dựng đoạn MM' và NN' bằng nét đứt
- Nối MN và M'N', đo độ dài của hai đoạn thẳng này
Ta cho thay đổi điểm M hoặc điểm N thì độ dài đoạn MN và M'N' cùng thay đổi nhưng luôn bằng nhau.
* Ví dụ 3 : Minh hoạ"Phép vị tự biến 3
điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của chúng ".
Ta thao tác với Cabri như sau:
- Dựng điểm O và nhập vào một số
thực k ≠ 0.
- Dựng đoạn thẳng AC. - Lấy điểm B thuộc đoạn AC.
- Dựng điểm A' là ảnh của A qua phép Vok, nối OA’. Làm tương tự đối với B và C (ảnh của chúng lần lượt là B', C').
- Sử dụng chức năng "Xác định thẳng hàng" để thấy rằng A', B', C' thẳng hàng và B’ nằm giữa A' và C'.
- Cho B chuyển động trên AC thì ta thấy B’ cũng chuyển động nhưng tính thẳng hàng và thứ tự của 3 điểm A’, B', C' vẫn được bảo tồn.
- Thay đổi đoạn AC sao cho O, A, B, C thẳng hàng, thậm chí cho 1 trong 3 điểm A, B, C trùng với O, ta vẫn thấy A', B', C' thẳng hàng và B’ nằm giữa A' và C'.
* Ví dụ 4: Minh hoạ"Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn" .
Thao tác với Cabri như sau:
- Dựng điểm O và gõ vào một số thực k ≠ 0.
Dựng đường tròn (I,R), lấy M thuộc (I,R). - Dựng ảnh I' của I qua phép Vok, nối OI. - Dựng ảnh MI của M qua Vok, nối OI bằng nét đứt.
Xác định trạng thái để lại dấu vết cho điểm M', sau đó di chuyển điểm M trên (I,R), khi đó điểm MI cũng di chuyển và vạch ra quỹ tích của nó, quỹ tích đó nhìn trực quan có vẻ
như là một đường tròn tâm I'.
Từ dự đoán trên, ta giới thiệu định lý và gợi cho học sinh hướng để chứng minh: Sẽ
chứng minh cho điểm M’ luôn cách điểm I' một khoảng không đổi. Ta nối IMvà I’M’ rồi yêu cầu học sinh sử dụng những kiến thức đã học (định lý 1 của bài Phép vị tự" hoặc "tam giác
đồng dạng ") để chứng minh.
* Ví dụ 5: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán: "Cho 3 phép đối xứng tâm ĐA,ĐB,
của M2 qua Đc. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MM3 là một điểm cốđịnh. Từ đó suy ra quỹ tích của điểm M3 khi điểm M chạy trên một đường tròn (O) hay một đường thẳng d ". Với Cabri có thể làm như sau:
- Dựng các điểm A, B, C, M.
- Dựng các điểm Ml, M2, M3 theo yêu cầu bài toán. - Dựng trung điểm D của MM3
- Nối các đoạn MM1, M1M2. M2M3 bằng nét đứt và các đoạn AB, BC, CD, DA, M3M1, MM3 bằng nét liền.
Ta cho điểm M thay đổi để minh hoạ cho kết luận của bài toán.
Cũng trong quá trình di chuyển điểm M, yêu cầu
học sinh nhận xét về hình dáng của tứ giác ABCD (là một hình bình hành cốđịnh) từđó rút ra hướng chứng minh: Chứng minh cho D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD.
Sau khi đã chứng minh được D là điểm cố định, nếu học sinh chưa giải được ý tiếp theo của bài toán thì ta có thể tiếp tục như sau:
- Đặt thuộc tính "Để lại dâu vết " cho điểm M3. - Dựng đường tròn (O) hoặc đường thẳng d đi qua M.
- Cho điểm M di chuyển dọc trên (O) (hoặc d) để quan sát quỹ tích của M3, từđó xác
định phương hướng giải quyết.
* Ví dụ 6: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán: "Cho hai điểm cố định B, C trên
đưng tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác Thao tác :
- Dựng đường tròn (O).
- Dựng tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn.
- Sử dụng Macro "Đường cao " để dựng các đường cao của tam giác ABC, từđó xác định trực tâm H của tam giác đó.
- Cho điểm A chạy trên đường tròn (O) và theo dõi quỹ
tích của điểm H, ta sẽ thấy H chạy trên một đường tròn đi qua B, C. Chọn 3 điểm trên đường tròn này và dùng Macro "Tâm ngoại tiếp " để xác định tâm O' của đường tròn này.
Nhìn hình vẽ, học sinh có thể dựđoán rằng đường tròn (O') có bán kính bằng bán kính của đường tròn (O) (ta có thể kiểm tra điều này bằng cách đo 2 bán kính của 2 đường tròn
đó, sau đó cho bán kính của đường tròn (O) thay đổi thì sẽ thấy bán kính của đường tròn (O') cũng thay đổi theo). Từ dựđoán này, ta có thể hướng học sinh tới suy nghĩ rằng: (O') là
tâm hoặc phép tịnh tiến. Cụ thể như sau:
- Nếu là phép đối xứng trục thì trục là đường thẳng nào? (Học sinh dễ nhận thấy rằng
đó là đường thẳng BC).
Nếu là phép đối xứng tâm thì tâm đó là điểm nào? (Học sinh dễ nhận thấy đó chính là trung điểm I của BC).
Nếu là phép tịnh tiến thì vectơ tịnh tiến là gì?
Cho điểm A chạy trên (O), ta thấy AH luôn vuông góc với BC và độ dài AH hình như
không đổi, từđó gợi ý học sinh chứng minh rằng véc tơ AH luôn bằng một vectơ không đổi nào đó (đó chính là vectơ tịnh tiến cần tìm) để từđó đi đến kết luận: A chính là tạo ảnh của H qua phép tịnh tiến nói trên.
- Ta có thểđưa ra một số trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như cho A trùng với B hoặc C và yêu cầu học sinh xác định điểm H
* Ví dụ 7: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán "Cho đường tròn (O) và điểm P cố định nằm ngoài SO). BC là một dây cung thay đổi của (O) nhưng có độ dài không đổi Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác PBC ".
Để thể hiện giả thiết: “Một dây cung thay đổi nhưng có độ dài không
đổi của một đường tròn “, ta có thể làm như sau: - Dựng 2 đường tròn đồng tâm O nhưng bán kính khác nhau. - Trên đường tròn nhỏ lấy điểm I, dựng đoạn thẳng OI.
- Dựng đường thẳng d qua I, vuông góc với OI.
- Gọi B, C là giao điểm của d với đường tròn lớn. Dựng đoạn thẳng BC, sau đó làm ẩn
đi đường thẳng d và đường tròn nhỏ.
- Dựng điểm P nằm ngoài (O). Nối PB và PC.
- Dùng Macro "Trọng tâm " để dựng trọng tâm G của tam giác PBC. - Nối IP thì dễ thấy G thuộc IP (vì I là trung điểm của BC).
- Xác định trạng thái "Để lại dấu vết cho điểm G, sau đó cầm điểm I di chuyển dọc theo đường tròn nhỏ (đường tròn nhỏ lúc này tuy đã bị ẩn đi nhưng do cách dựng điểm I nên khi di chuyển thì I sẽ luôn nằm trên đường tròn đó), dây BC sẽ có độ dài không đổi vì khoảng cách từ O đến BC luôn bằng bán kính của đường tròn nhỏ.
- Quan sát dấu vết của điểm G để lại, ta dựđoán quỹ tích của G là một đường tròn. Từ
khi đã tìm được quỹ tích điểm I là đường tròn nhỏ thì cho đường tròn nhỏđó hiện lên rồi đi
đến kết luận: 'lquỹ tích M chính là ảnh của đường tròn nhỏ qua phép vị tự Vp2/3 .
Ta mở rộng bài toán bằng cách di chuyển điểm P vào trong hoặc trên đường tròn để
nhận xét xem kết quả có còn đúng không? .
* Ví dụ 8: Cho điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB. Ta dựng bên ngoài tam giác MAB các hình vuông MBCD và MAEF.
Tìm quỹ tích các điểm C và E.
Bước 1 : Ta xây dựng một Script "Dựng hình vuông" (tệp hvuong.gss) như sau: Given:
Point A Point B
1 . Let [j] = Segment between Point A and Point B.
2. Let C = 1mage of Point B rotated 90 degrees about center Point A. 3. Let D : 1mage of Point A rotated 90 degrees about center Point B. 4. Let [k] : Segment between Point C and Point D.
5. Let [l] = Segment between Point D and Point B. 6. Let [m] - Segment between Point A and Point C.
Bước 2: Sử dụng phần mềm Sketchpad có sử dụng Script "Dựng hình vuông" để dựng các hình vuông MBCD và MAEF khi xác định được các điểm cho trước M, B và A, M. Các bước cụ thể thực hiện như sau:
- Dựng được tam giác MAB.
- Mở tệp hvuong.gss (đã thiết kếở trên).
- Chọn A, M theo thứ tự, ấn vào nút PLAY của cửa sổ script "hvuong.gss" vừa mở. Ta lần lượt được quan sát các bước dựng hình vuông MAEF theo kịch bản đã tạo sân.
- Tương tự, dựng được hình vuông MBCD với hai điểm khởi đầu là M, B.
Bước 3: Khai thác sự trợ giúp của Sketchpad trong việc dựđoán quỹ tích của C và E khi cho M di chuyển trên cung AB:
Chọn E và C, vào menu Display chọn nút lệnh Trace Object để chọn chức năng để lại vết của 2 điểm này khi chúng thay đổi.
- Chọn điểm M và cung AB, vào Display
hiện cửa sổ Path Match.
- Ấn vào nút Animate, rồi quan sát sự thay đổi tương ứng với M là hình dạng biến đổi của các hình vuông MBCD và MAEF, cùng sự thay đổi vị trí khác nhau của C và E. Tập hợp các vị trí C và E đi qua khi M thay đổi chính là tập hợp điểm cần tìm.
Từ quan sát hình vẽ: C và E di chuyển theo cung tròn. Vấn đề đặt ra: "Cung tròn đó
được xác định cụ thể như thế nào? ". C và E chính là các ảnh của M qua phép quay lần lượt tâm B và A. Do M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB nên quỹ tích của C và E là hai ảnh của đường tròn này trong các phép quay trên. Theo cách này, ta cần dựng thêm hình vuông ABB'A'. Đường cần tìm là 2 nửa đường tròn đường kính AA' và BB', ở bên ngoài ABB'A'.
* Ví dụ 9: Hướng dẫn giải bài tập: "Cho tam giác cân ABC (AB=BC). Gọi M là cung
điểm của đường cao AH, gọi D là giao điểm của cạnh AB với CM. Chứng minh rằng
AB AD
3 1 = ".
Hoạt động 1 : Sử dụng Cabri để vẽ tam giác cân ABC (AB=BC), đường cao AH, xác
định trung điểm M của AH, nối CM xác định D là giao điểm của CM với AB. Học sinh nhận xét đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến => BH=HC.
Hoạt động 2: Xuất phát từ yêu cầu cần chứng minh rằng AD AB
3 1
= , thì khi ta chia đoạn AB làm 3 phần bằng nhau bởi hai điểm chia thì điểm D phải là một điểm, điểm còn lại giả sửđặt tên là E. Dễ thấy E phải là trung điểm của đoạn AD. Khi đó ta có 3 đoạn thẳng bằng nhau AD=DE=EA (điều đó được minh hoạ bằng kết quả con số trên màn hình là 2 cm).
Hoạt động 3: Ta nối E với H. Từ trực giác thấy hai đường thẳng HE và CD song song và sử dụng Cabri để khẳng định điều đó.
Hoạt động 4: Ta có BH=HC và BE=ED, vậy HE đi qua trung điểm hai cạnh của tam giác CDB nên nó phải song song với cạnh thứ ba là CD =>HE // CD => HE // MD.
Hoạt động 5: Với tam giác AEH, ta có:
AM = MH VÀ MD // HE, vậy đường thẳng MD đi qua trung điểm của cạnh AH và song song với cạnh thứ hai là HE vậy nó phải đi qua trung điểm cạnh thứ ba tức là: AD = DE. Vậy ta có AD = DE = EB => ĐPCM.
* Ví dụ 10: Tìm mối liên hệ giữa khoảng cách từ giao điểm các đường trung trực của tam giác đến một cạnh và khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh đối diện với cạnh đó. Sử dụng Cabri để hướng dẫn học sinh giải bài toán này như sau:
Hoạt động 2: Sử dụng chức năng "Khoảng cách và chiều dài" xác định sốđo của đoạn KE và HB. Học sinh thực hiện phép chia và nhận được kết quả HB:KE là 2.
Hoạt động 3 : Cho tam giác ABC thay đổi. Học sinh nhận được thông báo của Cabri: tỷ số HB:KE không thay đổi và luôn bằng 2. Như vậy học sinh dự đoán và tìm cách chứng minh tỷ số HB:KE luôn bằng 2. Hoạt động 4: Tìm tòi cách chứng minh: Học sinh liên tưởng kiến thức cũ: trong một tam giác, đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Như vậy, nếu ta xác định được một tam giác mà đường trung bình có sốđo bằng số đo KE và cạnh tương ứng có sốđo bằng sốđo cạnh HB thì bài toán được giải quyết.
Hoạt động 5: Kẻ tia CK. Ta đã có E là trung điểm AC nên ta gợi ý cho học sinh kẻ
thêm các đường phụ sao cho KE là đường trung bình của tam giác mà A và C là hai đỉnh. Gọi đỉnh còn lại của tam giác cần tủn là Q, theo cách dựng Anh KE vậy học sinh xác định
được đỉnh Q bằng cách từ A kẻ Ax // KE cắt CK tại điểm Q. Vậy với cách dựng trên thì KE là đường trung bình của ∆ ACQ và KE bằng một nửa AQ .
Hoạt động 6: Giáo viên đặt vấn đề: để chứng minh KE bằng một nửa HB, ta cần chứng minh được HB bằng AQ.(H5)
Từ B kẻ By // KF, giả sử By cắt CK tại Q'. Theo cách dựng KF là đường trung bình của tam giác CBQ' và do đó ta có Q'K=KC (*), mặt khác vì KE là đường trung bình của tam giác ACQ nên KC=KQ (**). Từ * và ** chứng tỏ Q trùng với Q' suy ra BH=AQ. Đến đây ta đã giải quyết song bài toán: Kết quả hai khoảng cách luôn tỷ lệ với nhau với tỷ số bằng 2
* Ví dụ 11 : Cho góc xay khác góc bẹt, Az là tia phân giác, B là điểm cốđịnh trên tia Ax, C là điểm chuyển động trên đoạn thẳng AB, D là điểm chuyển động trên tia Ay sao cho AD=BC. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng CD luôn luôn đi qua một điểm cốđịnh khi C, D di động.
Trước tiên học sinh dùng Cabri để vẽ hình, sau
đó cho thay đổi vị trí điểm C để dự đoán điểm cố định.
Một số học sinh phát hiện ra điểm cố định là giao của tia phân giác góc  với đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Một số phận học sinh lại cho
điểm C di chuyển đến những vị trí đặc biệt và phát hiện ra được điểm cố định chính là giao của hai
đường trung trực của đoạn thẳng AB và AD'. (D' trên tia Ay sao cho AD'=AB).
mình là chính xác.
Đến đây, có học sinh cảm thấy hình như có 2
điểm cố định ! . Để tìm hiểu vấn đề này học sinh sử