dưới dạng: a = n + 0, n1n2n3…Trong đó n là số nguyên và 0, n1n2n3… là một số nhị phân, với n1, n2, n3, …bằng 0 hay 0, n1n2n3… là một số nhị phân, với n1, n2, n3, …bằng 0 hay bằng 1. Gọi OE là đơn vị dài.
4. Đo đoạn thẳng
Định lý 36:
Chứng minh:
Trên tia Ax ta dựng các đoạn AA1 ≡ A1A2 ≡ A2A3 ≡ … ≡ AnAn+1 ≡ OE(H.76). Ta có f(AAn) = n. Ta chọn chiều của tia Ax là chiều từ trái sang phải và chia đôi đoạn AnAn+1 bằng điểm P1. Nếu n1 = 0 ta lấy nửa trái của đoạn AnAn+1 còn nếu n1 =1 ta lấy nửa phải của đoạn đó. Ta kí hiệu nửa đoạn thẳng lấy được là l1. Tiếp tục chia đôi đoạn l1 bằng điểm P2 tùy theo n2 = 0 hay n2 = 1 ta lấy nửa trái hay nửa phải của đoạn l1 đó. Ta gọi nửa trái hay nửa phải của đoạn l1 đó là đoạn l2. Cứ tiếp tục làm như vậy ta được một dãy các đoạn thẳng là: l1, l2, l3...
4. Đo đoạn thẳng
Nếu số nhị phân mà hữu hạn và kết thúc ở con số nk(khi đó nk = 1 vì nếu nk = 0 thì số nhị phân đó phải coi là kết thúc trước số nk) thì khi đó đoạn APk -- có độ dài bằng f(APk) và
f(APk) = n + 0, n1n2… nk
Ta có APk -là đoạn thẳng cần tìm
Định lý 36:
4. Đo đoạn thẳng
Nếu số nhị phân là vô hạn ( ta không kể trường hợp một số hữu hạn viết thành vô hạn như 1, 011 được viết thành 1,0101111…). Theo cách dựng các đoạn l1, l2, l3... thì mỗi đoạn trong dãy này từ l2 trở đi thì có đầu mút trùng với đầu mút của đoạn trước đó và có tất cả các điểm nẳm trong đoạn trươc đó. Tuy nhiên không thể xảy ra tình trạng là kể từ một đoạn lk nào đó trở đi tất cả các đoạn của dây đều có chung nột đầu mút (vì theo giả thiêt số nhị phân nói trên là vô hạn nên không thể xảy ra trường hợp kể từ một con số nhị phân nào đó trở đi ta có toàn số 0 hay số 1). Vì vậy trong số các đoạn từ lk trở đi thề nào cũng có một đoạn nào đó có cả hai đầu mút đều nằm trong l1 Ta gọi đó là đoạn lk1-(H.77). Tiếp tục xét các đoạn từ lk1 trở đi, thế nào cũng có một đoạn mà cả hai đầu mút đều nằm trong đoạn lk1 và gọi đoạn đó là lk2, vv… như vậy ta có một dãy các đoạn l1, kk1, lk2… trong đó mỗi đoạn đều chứa hai đầu mút của đoạn đi liền sau đó nghĩa là lk1 C lk(i-4) C …C lk1 C l1
Định lý 36:
4. Đo đoạn thẳng
Định lý 36:
Chứng minh:
Ngoài ra ta cần chú ý rằng không thể có một đoạn thẳng nào đó lại nhỏ hơn tất cả các đoạn thẳng của dãy l1, lk1, lk2-, … vì nếu có một đoạn thẳng như vậy thì dù ta gấp đoạn thẳng đó lên bao nhiêu lần đi nữa
không bao giở ta có một đoạn lớn hơn đoạn OE là mâu thuẫn với tiên đề Acsimet. Do đó dãy các đoạn l1, kk1, lk2,… thỏa các điều kiện của tiên đề Căngđơ nên có một điểm B duy nhất thuộc tất cả các đoạn của dãy đó. Nếu bây giờ ta thực hiện phép đo đoạn thẳng AB như đã thực hiện ở định lý 35 ta thấy độ dài của đoạn AB đúng bằng số thực a dương cho trước.