Với đoạn thẳng AB cho trước ta chứng minh f(AB) được xác định duy nhất.
Trên nửa đường thẳng AB gốc O ta lấy các đoạn AA1 , AA2 … đều bằng OE . Ta xét các trường hợp sau đây :
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
a . Nếu có một điểm Ak trùng với điểm B ta có:f(AB) = f(AA1) + + f(A1A2) + … + f(Ak -1Ak) = k
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
b . Nếu trong các điểm A1 , A2 ,A3 , … không có điểm nào trùng với điểm B thì theo tiên đề Asimet ta có điểm An – 1 và An sao cho điểm B ở giữa An – 1 và An sao cho điểm B ở giữa An – 1 và An
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
Khi đó theo bổ đề I ta có : n – 1 < f(AB ) < n
Độ dài đoạn thẳng AB trong trường hợp này chưa được xác định chính xác mà còn sai kém 1 đơn vị.
Ta chia đôi đoạn An – 1 An bằng điểm P1 . Khi đó : Nếu điểm B trùng với điểm P1 ta có f(AB) = n – 1/2 Nếu điểm B không trùng với P ta xét hai trường hợp:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
1 . Trường hợp điểm B ở giữa An – 1 và P1 ta có n – 1 < f(AB) < n – 1/2
2 . Trường hợp điểm B nằm giữa Pn và A ta có: n – ½ < f(AB) < n
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
Ta có thể viết chung kết quả cả hai trường hợp trên như sau : n +1/2+ ε1/2 <f(AB) < n – ε’1/2
Trường hợp 1 ta lấy ε1 = 0 và ε’1 = 1
Trường hợp 2 ta lấy ε1= 1 và ε’1 = 0
Nếu điểm B thuộc đoạn nào đó,ta gọi tên đoạn đó là M1 M1',với M1 đi trước M1'
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong trường hợp này nếu phép đo dừng lại ở đây thì độ dài đoạn AB được xác định sai kém ½ đơn vị dài . Ta lại tiếp tục chia đôi đoạn M1M’1 bằng điểm P2 và cũng xảy ra hai trường hợp tương tự như đối với điểm P1 ở trên :
Nếu điểm B trùng với điểm ta có :
f(AB ) = f(A) + f() = f(A)+ ¼
Nếu điểm B không trùng với P2 mà lại thuộc đoạn M1P2 hoặc đoạn P2M’1 thì khi đó ta có :
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Số tìm được là số đo của đoạn thẳng AB,hay còn gọi là độ dài
đoạn thẳng AB.số này là 1 số thực (có thể là số nguyên hay số
hữu tỉ) và được xác định 1 cách duy nhất.
Bây giờ ta cần chứng minh rằng độ dài của đoạn thẳng được xác định như trên thỏa mãn bốn điều kiện nêu ra trong định nghĩa:
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
Điều kiện 1:
Theo cách đo đoạn thẳng AB thực hiện như trường hợp 1 và 2 như trên thì f(AB) là một số dương
Điều kiện 2:
Giả sử AB=A’B’theo cách chia như trên thực hiện với các đoạn thẳng AB và A’B’với các điểm tương ứng là Mi và Ni.
Ta có:
f(AM1) = f(A’N1) ; f(AM2) = f(A’N2) ; … ; f(AMp) = f(A’Np) do đó đến giới hạn ta có : f(AB) = f(A’B’)
4. Đo đoạn thẳng
Điều kiện 3:
Giả sử ta có điểm C ở giữa A và B, cần chứng minh: f(AC)+f(CB)=f(AB) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
Gọi a,b,c lần lượt là số đo của các đoạn AB, CB, CA. tức là: f(AB)=a,f(CB)=b, f(CA)=c
4. Đo đoạn thẳng
Điều kiện 3:
Ta chọn số tự nhiên n rồi chia đơn vị dài ra phần bằng nhau. Mỗi phần sẽ có độ dài là 1/2n
Trên tia CA ta lấy các đoạn CA1,A2,A3, …….. bằng nhau và mỗi đoạn đều bằng 1/2n
Theo tiên đề ASCIMET ta có 2 điểm Ak, Ak+1 và sao cho điểm Ak thuộc đoạn CA hay trùng với A và đoạn C Ak+1 chứa điểm A
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Điều kiện 4:
Áp dụng phép đo thực hiện như trên với đoạn OE ta có f(OE)=1
Vậy f(AB) là độ dài đoạn thẳng AB vì nó thỏa mãn 4 điều kiện nêu trong định nghĩa .
CHÚ Ý:
Dựa vào định lí 35 trên đây người ta có thể so sánh các đoạn thẳng bằng cách so sánh các độ dài của chúng.
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lý 36:
Với bất cứ số thực dương a cho trước, bao giờ ta cũng có một đoạn thẳng có độ dài bằng a.
Chứng minh: