- Tron g2 số 2n+1 và 2n1 có thể đồng thời là hợp số đợc Ví dụ:
2. Giả thuyết Goldbach (Gônbach)
Biểu diễn một số nguyên tố dới dạng nào đó luôn luôn là bài toán thu hút sự quan tâm của nhiều ngời. Hơn nữa, nhiều khi cần trả lời câu hỏi: Có bao nhiêu cách biểu diễn ?
Dễ nhất trong các câu hỏi thuộc hớng nêu trên có lẽ là bài tập sau:
Bài tập: CMR: Mỗi số nguyên lớn hơn 11 đều có thể viết dới dạng tổng của 2 hợp số.
Thế nhng câu hỏi "tơng tự" lại là một giả thuyết lớn.
Giả thuyết Goldbach: "Mọi số nguyên dơng chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết dới dạng tổng của 2 số nguyên tố".
Ngời ta đã kiểm tra với các số nguyên chẵn không quá 1000000 (Một triệu). Trong trờng hợp tổng quát đang chờ bạn !!!
3. "Sinh ba" rất ít, phải chăng "sinh đôi" lại nhiều
Ta biết rằng các số nguyen tố "có thể xa nhau tuỳ ý" điều này thể hiện ở bài tập:
Bài tập 1: Cho trớc số nguyên dơng n tuỳ ý. Chứng minh rằng tồn tại n số tự nhiên liên tiếp mà mỗi số trong chúng đều là hợp số.
Vậy nhng, các số nguyên tố cũng có thể "rất gần nhau". Cặp số (2,3) là cặp số tự nhiên liên tiếp duy nhất mà cả hai đều là số nguyên tố. Cặp số (p,q) đợc gọi là cặp số "sinh đôi", nếu cả 2 đều là số nguyên tố và q=p+2. Bộ 3 số (p,q,r) gọi là bộ số nguyên tố "sinh ba" nếu cả 3 số p,q,r đều là các số nguyên tố và q=p+2; r=q+2.
Bài tập 2: Tìm tất cả các bộ số nguyên tố sinh ba.
Đây là bài tập dễ, dùng phơng pháp chứng minh duy nhất ta tìm ra bộ (3,5,7) là bộ ba số nguyên tố sinh ba duy nhất, các bộ 3 số lẻ lớn hơn 3 luôn có 1 số là hợp số vì nó chia hết cho 3.
Từ bài tập 2 thì bài toán sau trở thành một giả thuyết lớn đang chờ câu trả lời.