2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu
2.3. Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn
2.3.1. Phương pháp hiệu chỉnh
Cho R0 = (0, δ∗]×(0, h∗], X là không gian Banach phản xạ lồi chặt cùng với không gian liên hợp X∗, A và Ah là các toán tử demi-liên tục,
A :X →X∗ là toán tử đơn điệu, K là tập lồi đóng. Trong mục này, ta không đòi hỏi tính đơn điệu của toán tử Ah : X → X∗. Tuy nhiên, giả thiết rằng
kAx−Ahxk ≤ hg(kxk), ∀x ∈ K, ∀h ∈ R0, (2.44)
ở đây g(t) là một hàm tăng, không âm với mọi t ≥0. Giả sử điều kiện (2.6) thỏa mãn. Khi đó bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.8) có thể không có nghiệm, do đó để hiệu chỉnh cho bài toán (2.2) trong trường hợp này ta sử dụng bất đẳng thức biến phân
hAhxτα+αJ(xτα)−fδ, x−xταi ≥ −νg(kxταk)kx−xταk,
∀x ∈ K, xτα ∈ K,
(2.45) ở đây ν ≥ h.
Bổ đề 2.1. Với mỗi α > 0, ν > 0 và fδ ∈ X∗, bất đẳng thức biến phân
(2.45) có nghiệm xτα.
Chứng minh: Lập luận tương tự như chứng minh cho bất đẳng thức (2.8) ta suy ra bất đẳng thức biến phân
hAhxδα+αJ(xδα)−fδ, x−xδαi ≥ 0, ∀x ∈ K, (2.46)
có duy nhất nghiệm (kí hiệu là xδα). Từ (2.44) và (2.46) ta nhận được hAhxδα+αJ(xδα)−fδ, x−xδαi ≥ −hg(kxδαk)kx−xδαk,
∀x ∈ K, xδα ∈ K.
(2.47) Vì ν ≥ h nên xδα (suy ra xτα) là nghiệm của (2.45).
2.3.2. Sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh
Định lý 2.6. Giả sử A và Ah là các toán tử demi-liên tục, A là toán tử đơn điệu, Ah không đơn điệu thỏa mãn (2.44), fδ ∈ X∗ thỏa mãn
(2.6), toán tử A có tính chất Γ và tập nghiệm của bài toán (2.2) khác rỗng. Khi đó nếu
lim
α→0
δ +h+ ν
α = 0. (2.48)
thì {xτα} hội tụ mạnh đến nghiệm x0 có chuẩn nhỏ nhất.
Chứng minh. Từ (2.2) và (2.45) suy ra hAhxτα+αJ(xατ)−fδ, x0 −xταi
+hAx0 −f, xτα−x0i ≥ −νg(kxταk)kx0 −xταk.
(2.49)
Bất đẳng thức này tương đương với
αhJ(xτα)−J(x0 −x∗), xατ −x0i ≤ αhJ(x0), x0 −xταi
+hAhxτα−Axτα, x0 −xταi
+hAx0 −Axτα, xτα−x0i+hf −fδ, x0 −xταi
+νg(kxταk)kx0 −xταk.
(2.50) Sử dụng tính chất củaJ, tính đơn điệu của A, từ (2.6), (2.44) và (2.50) ta nhận được: kxτα−x0k2 ≤ h+ν α g(kxταk) + δ α kx0 −xταk + hJ(x0), x0 −xταi. (2.51)
Vì ν/α → 0 khi α → 0 (và suy ra h/α →0), từ (2.48) và (2.50) suy ra dãy xτα bị chặn. Vì vậy tồn tại một dãy con của dãy xτα hội tụ yếu đến
phần tử x¯ ∈ K. Không làm mất tính tổng quát ta giả sử xτα hội tụ yếu đến x¯ ∈ K.
Bây giờ ta chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy {xτα} tới x¯. Từ tính chất đơn điệu của toán tử A và tính chất của J suy ra
0≤ hAxτα−Ax, x¯ τα−x¯i
≤ hAxτα+ αJ(xτα)−Ax¯−αJ(¯x), xτα−x¯i
= hAxτα+αJ(xτα), xτα−x¯i − hAx¯+αJ(¯x), xτα−x¯i.
(2.52)
Vì dãy {xτα} hội tụ yếu đến x¯ nên
lim α→0hAx¯+ αJ(¯x), xτα−x¯i = 0. (2.53) Từ (2.44), suy ra hAxτα+αJ(xατ), xτα −x¯i = = hAxτα−Ahxτα +Ahxτα+αJ(xτα), xτα−x¯i ≤ hAhxτα +αJ(xτα), xτα−x¯i+hg(kxταk)kxτα−x¯k. (2.54)
Sử dụng bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.45) ta nhận được hAhxτα +αJ(xτα), xτα−x¯i = hAhxτα+αJ(xτα)−fδ, xτα−x¯i+hfδ, xτα−x¯i ≤ hfδ, xτα−x¯i+ νg(kxταk)kx¯−xταk. (2.55) Vì xτα * x¯ nên từ (2.55) suy ra lim α→0hAhxτα+αJ(xτα), xτα −x¯i ≤ 0. (2.56) Kết hợp (2.52)-(2.54) và (2.56) ta nhận được lim α→0hAxτα−Ax, x¯ τα−x¯i = 0.
Cuối cùng do tính chất Γ của toán tử A và đẳng thức này suy ra {xτα} hội tụ mạnh đến x¯∈ K.
Bây giờ ta chỉ ra rằng x¯ ∈ S0. Từ (2.44) và (2.45) ta nhận được
hAxτα+αJ(xτα)−fδ, x−xταi
≥ −(h+ν)g(kxταk)kx−xταk, ∀x ∈ K.
(2.57)
Cho α → 0 trong bất đẳng thức này với chú ý rằng A là toán tử
demi-liên tục và điều kiện (2.6) suy ra
hAx¯−f, x−x¯i ≥ 0, ∀x ∈ K.
Nghĩa là x¯ ∈ S0.
Ta sẽ chứng minh x¯ = x0. Sử dụng tính đơn điệu của ánh xạ J, kết hợp (2.44) và tính chất của J, ta viết lại (2.47) ở dạng
hJ(x), xτα−xi ≤ h+ν α g(kxταk) + δ α kx−xταk, ∀x ∈ S0. Từ α → 0, δ/α, ν/α → 0 (và h/α → 0), bất đẳng thức cuối cùng trở thành hJ(x),x¯−xi ≤ 0, ∀x ∈ S0.
Thay x bởi tx¯+ (1−t)x, t∈ (0,1) trong bất đẳng thức cuối cùng, chia cả 2 vế cho (1−t) sau đó cho t tiến đến 1, ta nhận được
hJ(¯x),x¯−xi ≤ 0, ∀x ∈ S0.
Sử dụng tính chất của J ta có kx¯k ≤ kxk, ∀x ∈ S0. Vì tính lồi đóng của tập nghiệm S0 và tính lồi đóng của K, ta suy ra x¯= x0.
KẾT LUẬN CHUNG
Đề tài luận văn đã đề cập đến phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu. Nội dung bao gồm:
- Trình bày sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng của bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc chính xác.
- Nghiên cứu bài toán hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xấp xỉ trong không gian Hilbert và trình bày định lý hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh.
- Trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu trong không gian Banach, chứng minh sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh.
Tài liệu tham khảo
[1] Ya. I. Alber and I. P. Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer Verlag, New York (2006).
[2] I. Ekeland and R. Temam, Convex Analysis and Variational Prob- lems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland (1970).
[3] O. A. Liskovets (1991), "Regularization of ill-posed variational in- equalities on approximately given sets", Differen. Equa., Minsk, 1-53.
[4] I. P. Ryazantseva (1983), "Solution of variational inequalities with monotone operators by the method of regularization", Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz., 23, pp. 479-483 (in Russian).
[5] E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York, (1985).