Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn

2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu

2.3. Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn

2.3.1. Phương pháp hiệu chỉnh

Cho R₀ = (0, δ^∗]×(0, h^∗], X là không gian Banach phản xạ lồi chặt cùng với không gian liên hợp X^∗, A và A_h là các toán tử demi-liên tục,

A :X →X^∗ là toán tử đơn điệu, K là tập lồi đóng. Trong mục này, ta không đòi hỏi tính đơn điệu của toán tử A_h : X → X^∗. Tuy nhiên, giả thiết rằng

kAx−A_hxk ≤ hg(kxk), ∀x ∈ K, ∀h ∈ R₀, (2.44)

ở đây g(t) là một hàm tăng, không âm với mọi t ≥0. Giả sử điều kiện (2.6) thỏa mãn. Khi đó bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.8) có thể không có nghiệm, do đó để hiệu chỉnh cho bài toán (2.2) trong trường hợp này ta sử dụng bất đẳng thức biến phân

hA_hx^τ_α+αJ(x^τ_α)−f_δ, x−x^τ_αi ≥ −νg(kx^τ_αk)kx−x^τ_αk,

∀x ∈ K, x^τ_α ∈ K,

(2.45) ở đây ν ≥ h.

Bổ đề 2.1. Với mỗi α > 0, ν > 0 và fδ ∈ X^∗, bất đẳng thức biến phân

(2.45) có nghiệm x^τ_α.

Chứng minh: Lập luận tương tự như chứng minh cho bất đẳng thức (2.8) ta suy ra bất đẳng thức biến phân

hA_hx^δ_α+αJ(x^δ_α)−f_δ, x−x^δ_αi ≥ 0, ∀x ∈ K, (2.46)

có duy nhất nghiệm (kí hiệu là x^δ_α). Từ (2.44) và (2.46) ta nhận được hAhx^δ_α+αJ(x^δ_α)−fδ, x−x^δ_αi ≥ −hg(kx^δ_αk)kx−x^δ_αk,

∀x ∈ K, x^δ_α ∈ K.

(2.47) Vì ν ≥ h nên x^δ_α (suy ra x^τ_α) là nghiệm của (2.45).

2.3.2. Sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh

Định lý 2.6. Giả sử A và A_h là các toán tử demi-liên tục, A là toán tử đơn điệu, A_h không đơn điệu thỏa mãn (2.44), f_δ ∈ X^∗ thỏa mãn

(2.6), toán tử A có tính chất Γ và tập nghiệm của bài toán (2.2) khác rỗng. Khi đó nếu

lim

α→0

δ +h+ ν

α ^{= 0. (2.48)}

thì {x^τ_α} hội tụ mạnh đến nghiệm x⁰ có chuẩn nhỏ nhất.

Chứng minh. Từ (2.2) và (2.45) suy ra hA_hx^τ_α+αJ(x_α^τ)−f_δ, x⁰ −x^τ_αi

+hAx⁰ −f, x^τ_α−x⁰i ≥ −νg(kx^τ_αk)kx⁰ −x^τ_αk.

(2.49)

Bất đẳng thức này tương đương với

αhJ(x^τ_α)−J(x⁰ −x_∗), x_α^τ −x⁰i ≤ αhJ(x⁰), x⁰ −x^τ_αi

+hA_hx^τ_α−Ax^τ_α, x⁰ −x^τ_αi

+hAx⁰ −Ax^τ_α, x^τ_α−x⁰i+hf −f_δ, x⁰ −x^τ_αi

+νg(kx^τ_αk)kx⁰ −x^τ_αk.

(2.50) Sử dụng tính chất củaJ, tính đơn điệu của A, từ (2.6), (2.44) và (2.50) ta nhận được: kx^τ_α−x⁰k² ≤ h+ν α ^g(kx^τ_αk) + ^δ α kx⁰ −x^τ_αk + hJ(x⁰), x⁰ −x^τ_αi. (2.51)

Vì ν/α → 0 khi α → 0 (và suy ra h/α →0), từ (2.48) và (2.50) suy ra dãy x^τ_α bị chặn. Vì vậy tồn tại một dãy con của dãy x^τ_α hội tụ yếu đến

phần tử x¯ ∈ K. Không làm mất tính tổng quát ta giả sử x^τ_α hội tụ yếu đến x¯ ∈ K.

Bây giờ ta chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy {x^τ_α} tới x¯. Từ tính chất đơn điệu của toán tử A và tính chất của J suy ra

0≤ hAx^τ_α−Ax, x¯ ^τ_α−x¯i

≤ hAx^τ_α+ αJ(x^τ_α)−Ax¯−αJ(¯x), x^τ_α−x¯i

= hAx^τ_α+αJ(x^τ_α), x^τ_α−x¯i − hAx¯+αJ(¯x), x^τ_α−x¯i.

(2.52)

Vì dãy {x^τ_α} hội tụ yếu đến x¯ nên

lim α→0hAx¯+ αJ(¯x), x^τ_α−x¯i = 0. (2.53) Từ (2.44), suy ra hAx^τ_α+αJ(x_α^τ), x^τ_α −x¯i = = hAx^τ_α−Ahx^τ_α +Ahx^τ_α+αJ(x^τ_α), x^τ_α−x¯i ≤ hA_hx^τ_α +αJ(x^τ_α), x^τ_α−x¯i+hg(kx^τ_αk)kx^τ_α−x¯k. (2.54)

Sử dụng bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.45) ta nhận được hA_hx^τ_α +αJ(x^τ_α), x^τ_α−x¯i = hA_hx^τ_α+αJ(x^τ_α)−f_δ, x^τ_α−x¯i+hf_δ, x^τ_α−x¯i ≤ hfδ, x^τ_α−x¯i+ νg(kx^τ_αk)kx¯−x^τ_αk. (2.55) Vì x^τ_α * x¯ nên từ (2.55) suy ra lim α→0hA_hx^τ_α+αJ(x^τ_α), x^τ_α −x¯i ≤ 0. (2.56) Kết hợp (2.52)-(2.54) và (2.56) ta nhận được lim α→0hAx^τ_α−Ax, x¯ ^τ_α−x¯i = 0.

Cuối cùng do tính chất Γ của toán tử A và đẳng thức này suy ra {x^τ_α} hội tụ mạnh đến x¯∈ K.

Bây giờ ta chỉ ra rằng x¯ ∈ S₀. Từ (2.44) và (2.45) ta nhận được

hAx^τ_α+αJ(x^τ_α)−fδ, x−x^τ_αi

≥ −(h+ν)g(kx^τ_αk)kx−x^τ_αk, ∀x ∈ K.

(2.57)

Cho α → 0 trong bất đẳng thức này với chú ý rằng A là toán tử

demi-liên tục và điều kiện (2.6) suy ra

hAx¯−f, x−x¯i ≥ 0, ∀x ∈ K.

Nghĩa là x¯ ∈ S0.

Ta sẽ chứng minh x¯ = x⁰. Sử dụng tính đơn điệu của ánh xạ J, kết hợp (2.44) và tính chất của J, ta viết lại (2.47) ở dạng

hJ(x), x^τ_α−xi ≤ h+ν α ^g(kx^τ_αk) + ^δ α kx−x^τ_αk, ∀x ∈ S₀. Từ α → 0, δ/α, ν/α → 0 (và h/α → 0), bất đẳng thức cuối cùng trở thành hJ(x),x¯−xi ≤ 0, ∀x ∈ S0.

Thay x bởi tx¯+ (1−t)x, t∈ (0,1) trong bất đẳng thức cuối cùng, chia cả 2 vế cho (1−t) sau đó cho t tiến đến 1, ta nhận được

hJ(¯x),x¯−xi ≤ 0, ∀x ∈ S₀.

Sử dụng tính chất của J ta có kx¯k ≤ kxk, ∀x ∈ S0. Vì tính lồi đóng của tập nghiệm S₀ và tính lồi đóng của K, ta suy ra x¯= x⁰.

KẾT LUẬN CHUNG

Đề tài luận văn đã đề cập đến phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu. Nội dung bao gồm:

- Trình bày sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng của bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc chính xác.

- Nghiên cứu bài toán hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xấp xỉ trong không gian Hilbert và trình bày định lý hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh.

- Trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu trong không gian Banach, chứng minh sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh.

Tài liệu tham khảo

[1] Ya. I. Alber and I. P. Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer Verlag, New York (2006).

[2] I. Ekeland and R. Temam, Convex Analysis and Variational Prob- lems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland (1970).

[3] O. A. Liskovets (1991), "Regularization of ill-posed variational in- equalities on approximately given sets", Differen. Equa., Minsk, 1-53.

[4] I. P. Ryazantseva (1983), "Solution of variational inequalities with monotone operators by the method of regularization", Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz., 23, pp. 479-483 (in Russian).

[5] E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York, (1985).