2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu
2.2.1.Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh
Giả sử {Ah} là dãy toán tử đơn điệu cực đại, {Kσ} là dãy tập con lồi đóng của D(Ah) và
intKσ 6= ∅ hoặc intD(Ah)∩Kσ 6= ∅. (2.27)
Với δ∗, h∗ và σ∗ là các hằng số dương, ta định nghĩa R = (0, δ∗] ×
(0, h∗]×(0, σ∗]. Giả sử (2.5) thỏa mãn với mọi x ∈ K ∩ Kσ và với mọi
Ah và Kσ.
Giả sử X là không gian Hilbert H, và tồn tại hằng số M > 0sao cho
kyh−fδk ≤ M (kxk+ 1), ∀yh ∈ Ahx, ∀x ∈ Kσ (2.28)
ở đây γ = (δ, h, σ) ∈ R. Ta nghiên cứu sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh toán tử cho bất đẳng thức biến phân với điều kiện xấp xỉ khác nhau giữa Kσ và K.
Giả sử Kσ là xấp xỉ đều của K với khoảng cách Hausdorff, nghĩa là
HH(K, Kσ) ≤ σ. (2.29)
Ta xét xấp xỉ nghiệm của (2.2) sinh ra bởi bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh
hAhx+ αx−fδ, z −xi ≥ 0, ∀z ∈ Kσ, x ∈ Kσ (2.30)
Bất đẳng thức biến phân này có duy nhất nghiệm hiệu chỉnh, kí hiệu là xγα. Do đó tồn tại yγα ∈ Ahxγα sao cho
Mỗi toán tử Ah trong (2.30) không xác định duy nhất trên mọi tập con Kσ. Tuy nhiên, ta có thể tìm cách để các tham số h và σ cùng tiến đến 0. Chú ý này đặt cho tất cả các bất đẳng thức biến phân dạng (2.30).
2.2.2. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
Trong mục này ta xét trường hợp K ⊆ Kσ.
Định lý 2.5. Giả sử
(i) A : H → 2H là toán tử đơn điệu cực đại;
(ii) K là tập con lồi đóng trong H;
(iii) {Ah} là một dãy toán tử đơn điệu cực đại, Ah : H →2H;
(iv) {Kσ} là một dãy tập lồi đóng thỏa mãn Kσ ⊆ D(Ah);
(v) K ⊆Kσ với mọi σ ∈ (0, σ∗];
(vi) với mọi x ∈ K, xấp xỉ giữa A và Ah được cho bởi
HH(Ahx, Ax) ≤hg(kxk), x ∈ K, h ∈ (0, h∗], (2.32)
ở đây g(t) là một hàm không âm, liên tục với t ≥ 0;
(vii) các điều kiện (2.1), (2.6), (2.27)-(2.29) thỏa mãn;
(viii) bất đẳng thức biến phân (2.2) có tập nghiệm S0 khác rỗng.
Nếu
lim
α→0
δ +h+σ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
α = 0 (2.33)
thì dãy nghiệm {xγα} của bất đẳng thức biến phân (2.30) hội tụ mạnh trong H đến nghiệm x¯0 ∈ S0 có chuẩn nhỏ nhất khi α →0.
x0 ∈ S0 ⊂K, tồn tại tương ứng phần tử uαγ ∈ K và vγα ∈ Kσ sao cho
kxγα−uγαk ≤ σ (2.34)
và
x0 −vαγ ≤ σ. (2.35)
Từ x0 ∈ S0, tồn tại y ∈ Ax0 sao cho (2.3) thỏa mãn. Thay z bởi uγα
trong (2.3) và vγα trong (2.31), cộng các bất đẳng thức nhận được với
yαγ ∈ Ahxγα
hyαγ +αxγα−fδ, vαγ −xγαi +hy −f, uγα−x0i ≥ 0,
∀x0 ∈ S0, y ∈ Ax0.
(2.36)
Vì Ah là toán tử đơn điệu, với mỗi h ∈ (0, h∗] và K ⊆ Kσ ⊆ D(Ah) ta có
hyαγ −yh, xγα−x0i ≥ 0, ∀yh ∈ Ahx0.
Hơn nữa tồn tại yh ∈ Ahx0 sao cho
kyh−yk ≤ hg(kx0k)
Trên cơ sở (2.36) ta nhận được
αhxγα, xγα−vαγi ≤ hy −f, uγα −xγαi +hyαγ −fδ, vαγ −xγαi+hy −f, xγα−x0i ≤ hy −f, uγα−xγαi+iyγα−fδ, vαγ −x0i +hy −yαγ, xγα−x0i+hfδ−f, xγα−x0i ≤ hy −f, uγα−xγαi+iyγα−fδ, vαγ −x0i +hyh−y, x0 −xγαi+hf −fδ, x0 −xγαi ≤ hy −f, uγα−xγαi+ hyαγ −fδ, vαγ −x0i+ hg x0 +δ xγα−x0. (2.37)
Do đó từ (2.28), (2.34) và (2.35) suy ra kxγαk2 − kxγαk δ α +M σ α + h αg x0 +σ+ x0 − h αg x0 + δ α +M σ α x0−2Mσ α ≤0, ∀x0 ∈ S0. (2.38) Từ đây suy ra đánh giá
kxγαk ≤ δ α +M σ α + h αg x0 +σ + 2 x0+ 1, ∀x0 ∈ S0, (2.39)
kết hợp với (2.33) suy ra dãy {xγα} bị chặn. Từ kxγα − uγαk ≤ σ, dãy {uγα} cũng bị chặn. Do đó, uγα * x¯∈ H. Hơn nữa x¯ ∈ K bởi vì uγα ∈ K
và K là một tập đóng yếu. Do vậy, ta suy ra xγα * x¯ ∈ K khi α → 0. Theo Bổ đề 1.4, bất đẳng thức biến phân (2.30) tương đương với
fδ ∈ Bλxγα +αxγα
ở đây toán tử
Bλ = Ah+∂IKσ, λ = (h, σ)
là toán tử đơn điệu cực đại với D(Bλ) = Kσ. Do đó tồn tại phần tử
ξαγ ∈ Bλxγα sao cho
ξαγ +αxγα = fδ. (2.40)
Rõ ràng ξαγ có thể thay bởi (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ξαγ = ˜yαγ +zαγ, (2.41)
ở đây y˜γα ∈ Ahxγα và zαγ ∈ ∂IKσxγα. Từ (2.6), (2.40) và (2.41) suy ra
lim
α→0(˜yαγ +zαγ) =f (2.42) vì dãy {xγα} bị chặn. Sử dụng bao hàm thức K ⊆ Kσ và (2.32), với mọi
yh →y khi h → 0. Vì Bλ là toán tử đơn điệu và K ⊆ Kσ = D(Bλ), ta có
(˜yαγ +zαγ −yh−zσ, xαγ −x) ≥0, ∀x ∈ K, zσ ∈ ∂IKσx.
Chú ý rằng 0H ∈ ∂IKσx với mọi x ∈ Kσ. Nên, trong bất đẳng thức cuối cùng ta có thể đặt zσ = 0H. Khi đó, sau khi cho qua giới hạn khi α →0
ta nhận được (f −y,x¯−x) ≥ 0, ∀x ∈ K, ∀y ∈ Ax, ở đây x¯∈ K. Từ Bổ đề 1.2 suy ra x¯ ∈ S0. Từ (2.37) ta có xγα −x0 2 ≤ xγα−x0 δ α + h αg x0 + M x0+kxγαk+ 2 σ α + σkxγαk+ x0, x0 −xγα, ∀x0 ∈ S0. (2.43)
Đặt x0 = ¯x. Khi đó dãy {xγα} hội tụ mạnh đến x¯ vì (2.33). Trong (2.43) cho α → 0 ta nhận được
hx0, x0 −x¯i ≥ 0, ∀x0 ∈ S0,
từ đây suy ra x¯ = ¯x0. Cuối cùng, cả dãy xγα hội tụ mạnh đến x¯0 khi
α → 0. Định lý được chứng minh.
2 Hệ quả 2.1. Nếu S0 = {x0} và tồn tại số C > 0 sao cho
δ +h+σ
α ≤ Cα khi α → 0, thì Định lý 2.5 cho sự hội tụ yếu của dãy xγα đến x0.