X. Phương pháp nghiên cứu
1.2.6. Electron trong tinh thể [8, 16 19]
Xét tinh thể lý tưởng với sự sắp xếp tuần hoàn của các nguyên tử. Toán tử Hamiltonian của hệ này bao gồm động năng của các electron, động năng của các hạt nhân, thế năng tương tác của electron – electron, electron - hạt nhân và thế năng tương tác của hạt nhân – hạt nhân. Do đó, có thể viết như sau :
2 2 2 2 i j i a a b i a 1 2 B i 0 a i j i,a a b 1 1 H U r r U r R U R R 1.59 2m 2M 2 2
Trong phương trình này, m0 và M là khối lượng của các electron và hạt nhân. r và
R là bán kính vectơ của electron và hạt nhân. Hiển nhiên, ta không thể giải phương trình với Hammilton (1.59) cho số các hạt cỡ 1022 – 1023 hạt. Do đó, phải dùng một số phép gần đúng để giải bài toán này,
Do khối lượng hạt nhân M lớn hơn rất nhiều so với khối lượng của electron m nên hạt nhân được coi là đứng yên khi khảo sát các tính chất của electron trong tinh thể. Đây là phép gần đúng đoạn nhiệt hay gần đúng Born – Oppenheimen. Sử dụng gần đúng này, hàm sóng có thể tách thành hai phần: một phần phụ thuộc vào tọa độ electron, một phần phụ thuộc vào tọa độ hạt nhân dẫn đến hai phương trình Schordinger độc lập: một cho hệ các hạt nhân và một phương trình khác cho hệ các electron. Vì chỉ quan tâm tới tính chất các electron trong tinh thể nên ta chỉ viết:
2 2 i j i a i 1 2 R i 0 i j i,a 1 U r r U r R E 1.60 2m 2
Trong phương trình này, bán kính vectơ của hạt nhân Ra là các tham số chứ không phải là biến. Hàm sóng phụ thuộc vào toàn bộ tập hợp các tọa độ electron và tập hợp các tọa độ hạt nhân như các tham số. Sự phụ thuộc tham số của giá trị riêng ERvào tọa độ của hạt nhân được đánh dấu bởi một chỉ số thích hợp.
Thứ hai, electron ở bên trong lớp vỏ liên kết chặt chẽ với hạt nhân không xác định các tính chất của vật như độ dẫn điện, quá trình dịch chuyển quang học và những tính chất khác, và do đó, có thể coi như một thành phần của mạng. Điều này có nghĩa rằng, thay vì nghiên cứu hạt nhân, chúng ta nghiên cứu các lõi ion. Do đó, số hạng thứ hai trong phương trình (1.60) chỉ là tương tác Coulomb giữa các electron hóa trị và có thể biểu diễn:
i j 2 1 i j i j i j 1 1 e U r r 1.61 2 2 r r
Thứ ba, dưới các điều kiện nhất định của bài toán nhiều hạt, (1.60) có thể rút gọn thành một tập hợp của các bài toán một hạt bằng phương pháp gần đúng trường tự hợp: tương tác của mỗi electron hóa trị với tất cả các electron hóa trị khác và với tất cả các lõi ion được tính đến bằng cách đưa vào một thế năng tuần hoàn U(r), thế này phải được điều chỉnh sao cho khi sử dụng tính đối xứng của mạng tinh thể và một số dữ liệu thực nghiệm, ta thu được cấu trúc vùng năng lượng đối với tinh thể đã cho.
Khi đó, phương trình Schrodinger với toán tử Hamilton (1.59) rút gọn thành phương trình cho một hạt duy nhất:
2 2 0 U r E 1.62 2m
với thế năng tuần hoàn đó, phương trình này lại có thể rút gọn thành phương trình cho một hạt tự do nhờ tái chuẩn hóa khối lượng:
2 2 * E 1.63 2m
Như chúng ta đã biết, phổ năng lượng của electron bao gồm các dải được bị tách ra bởi các vùng cấm. Các tính chất điện của chất rắn phụ thuộc vào sự chiếm các vùng năng lượng và độ lớn vùng cấm. Nếu tinh thể vùng năng lượng bị chiếm một phần, nó thể hiện tính kim loại vì các electron trong vùng này quyết định tính
dẫn điện. Nếu tất cả các vùng ở T = 0K đều bị chiếm hoàn toàn hoặc tự do, vật liệu sẽ thể hiển tính chất điện môi. Các electron trong vùng năng lượng bị chiếm không thể tham gia quá trình dẫn điện do nguyên lí loại trừ Paoli: chỉ duy nhất một electron có thể một trạng thái đã cho. Vì vậy, dưới ảnh hưởng của điện trường ngoài, electron trong vùng năng lượng bị chiếm đầy hoàn toàn không thể thay đổi năng lượng bởi tất cả các trạng thái lân cận đã được lấp đầy. Vùng năng lượng bị chiếm cao nhất gọi là “vùng hóa trị” và vùng năng lượng thấp nhất không bị chiếm được gọi là “vùng dẫn”. Khoảng cách giữa đỉnh của vùng hóa trị Ev và đáy của vùng dẫn Ec được gọi là vùng cấm năng lượng Eg (hay khe năng lượng)
g c v
E E E
Tùy thuộc vào giá trị tuyệt đối của Eg, các vật rắn cho thấy tính chất điện môi (tức là không dẫn điện) tại T = 0K được phân thành chất điện môi và chất bán dẫn. Nếu Eg nhỏ hơn 3 – 4 eV, vùng dẫn bị chiếm đáng kể khi tăng nhiệt độ, và loại tinh thể này được gọi là các chất bán dẫn.
Đường cong tán sắc E k cho thấy các tinh thể thực tế là khá phức tạp. Khối lượng hiệu dụng không thể được coi là hằng số, và trong một số trường hợp, có thể được mô tả như là một tenxơ bậc hai. Tuy nhiên, trong rất nhiều trường hợp thực nghiệm quan trọng, các sự kiện xảy ra trong vùng lân cận của E và Ec v là quan trọng nhất và có thể được mô tả bằng xấp xỉ khối lượng hiệu dụng không đổi, nhưng đôi khi cũng có sự phân biệt theo các hướng khác nhau. Cấu trúc các vùng năng lượng của hai chất bán dẫn tiêu biểu, Cadimium Sufide và Silicon (CdS và Si) được minh họa trong hình 1.6. Với tinh thể CdS, khoảng cách tối thiểu giữa
c v
E và E xảy ra ở cùng một giá trị k. Các tinh thể loại này được gọi là bán dẫn có vùng cấm thẳng. Với các tinh thể Si, vùng cấm năng lượng nhỏ nhất ứng với các giá trị k khác nhau cho E và Ec v. Tinh thể loại này thường được gọi là bán dẫn có vùng cấm xiên.
CHƯƠNG II
KHÁI NIỆM CÁC GIẢ HẠT VÀ CÁC CẤU TRÚC THẤP CHIỀU