3.5 Khái niệm số chiều của không gian vectơ hữu hạn sinh
Bổ đề 3.5.1
Trong không gian vectơV cho hai hệ vectơ:
α1, α2, . . . , αr, (1)
β1, β2, . . . , βs. (2)
Nếu hệ(1) độc lập tuyến tính và mỗi vectơ của hệ(1)là tổ hợp tuyến tính của hệ(2)
thìr 6 s.
Chứng minh: Theo giả thiết ta có
α1 = x1β1 + x2β2 +· · · +xsβs.
Do hệ (1) độc lập tuyến tính nênα1 ̸= θ từ đó suy ra các vô hướngxi không đồng thời bằng không. Giả sửx1 ̸= 0 khi đó
β1 = 1
x1α1 − x2
x1β2− · · · − xs
x1βs. (3) Thayβ1 trong (2) bởiα1, ta được hệ
α1, β2, . . . , βs. (4) Theo giả thiết mọi vectơ của hệ (1) đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ (2), theo công thức (3) mỗi vectơ của hệ (2) đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ (4). Từ đó mỗi vectơ của hệ (1) đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ (4). Do đó
α2 = y1α1 +y2β2 +· · ·+ ysβs.
Hệ (1) độc lập tuyến tính nên trong số các hệ số y2, . . . , ys phải có một số khác không, giả sửy2 ̸= 0. Khi đó
β2 = −y1 y2 α1 + 1 y2 α2 − y3 y2 β3 − · · · − ys y2 βs. (5) Ta lại thayβ2 trong hệ (4) bởiα2và được hệ
α1, α2, β3, . . . , βs. (6) Từ (3) và (5) suy ra mọi vec tơ của hệ (1) đều biểu thị tuyến tính qua hệ (6).
Nếu r > s thì tiếp tục quá trình trên sau một số hữu hạn bước, hệ (2) sẽ được thay thế bởi hệ
3.6.Cơ sở trong không gian vectơnchiều 27
trong đó mọi vectơ của hệ (1) đều biểu thị tuyến tính qua hệ (7). Điều này trái với giả thiết hệ (1) độc lập tuyến tính.
Do đó r 6 s. 2
Định lý 3.5.2
NếuV là một không gian vectơ hữu hạn sinh thìV có một cơ sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trongV đều bằng nhau.
Chứng minh: Giả sử tập hữu hạn S là một hệ sinh của V. Theo hệ quả 3.4.2, ta có thể bớt đi một số vectơ của S để được một cơ sở B của V, B hữu hạn. Giả sử
B′ cũng là một cơ sở của V. Do B′ độc lập tuyến tính và B là một hệ sinh nên theo bổ đề 3.5.1 ta có | B′ |≤| B |. Đổi vai trò của hai cơ sở này cho nhau ta có
| B |≤| B′ |. Vậy mọi cơ sở của V có số phần tử bằng nhau. 2
Định nghĩa 3.5.3
Số các vectơ của một cơ sở của không gian vectơ hữu hạn sinh V được gọi là số chiều củaV, ký hiệu là dimV.
NếudimV = n thìV được gọi là không gian vectơn chiều. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Không gian chỉ gồm có một vectơθ không có cơ sở, quy ướcdim{θ} = 0.
Ví dụ: 1. dimKn = nvìKn có một cơ sở là ε1 = (1,0, . . . ,0), ε2 = (0,1, . . . ,0), . . . , εn = (0,0, . . . ,1) 2. dimPn[x] = n + 1 vìPn[x]có một cơ sở là 1, x, x2, . . . , xn
3. dimE2 = 2vìE2có một vectơ cơ sở là hai vectơ đơn vịi = (1,0)
và j = (0,1).
dimE3 = 3vì E3 có một vectơ cơ sở là ba vectơ đơn vị
i = (1,0,0),
j = (0,1,0)vàk = (0,0,1).
3.6 Cơ sở trong không gian vectơ n chiều
Mệnh đề 3.6.1
Cho V là một không gian vectơ n chiều và α1, α2, . . . , αm là hệ gồm m vectơ trongV.