Slice cơ sở

Một phần của tài liệu (Luận văn thạc sĩ) Thuật toán slice cho phân tích bất khả quy của IĐêan đơn thức (Trang 35 - 36)

2 Thuật toán Slice

2.4 Slice cơ sở

Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm sau.

Định nghĩa 2.4.1. Đặt R=A[X1, . . . ,Xn], trong đó A là một vành giao hoán bất kỳ.

(i) Đơn thức Xn ∈[[R]]được gọi làkhông chứa bình phương nếu với i=1, . . . ,d

ta có ni ∈ {0,1}. Iđêan đơn thức JRđược gọi là không chứa bình phương nếu nó sinh bởi các đơn thức không chứa bình phương.

(ii)Sự rút gọncủa đơn thức f =Xn∈[[R]]là một đơn thức

red(f) = ∏

i∈Supp(f)

Xi.

Rõ ràng rằng red(f) là tích của các biến chia hết f :

red(f) =∏

Xi|f Xi.

Ví dụ 2.4.2. (i) Đặt R=A[X,Y,Z]. Các đơn thức không chứa bình phương trong

Rlà{1,X,Y,Z,XY,X Z,Y Z,XY Z}.

(ii) ChoR=A[X,Y,Z]và f = (X3Z4). Khi đó red(f) =X Z.

Chú ý 2.4.3. (i) Đơn thức f ∈[[R]] là không chứa bình phương nếu và chỉ nếu nó không chứaXi2, tức là khi và chỉ khi f =red(f).

(ii) Iđêan đơn thức trong R là không chứa bình phương nếu và chỉ nếu các đơn

thức trong một dãy sinh đơn thức rút gọn là không chứa bình phương.

Định nghĩa 2.4.4. Một slice (I,S,q) làslice cơ sởnếuI là iđêan đơn thức không chứa bình phương hoặc nếu x1. . .xn∤lcm(min(I)).

Mệnh đề 2.4.5. Nếux1. . .xn∤lcm(min(I)) thìmsm(I) = /0.

Chứng minh. Giả sửmsm(I)6= /0suy ra tồn tạid ∈msm(I).Khi đó với mọiitồn tạim∈min(I) sao chomxi-nhãn củad suy ram|dxi|lcm(min(I)).

Mặt khácdegxi(m) =degxi(d)+1suy raxi|m. Từ đây ta cóxi|m|lcm(min(I)). Vậy điều giả sử là sai.

Mệnh đề 2.4.6. Nếu I là iđêan không chứa bình phương và I 6= (x1, . . . ,xn) thì ta có msm(I) = /0.

Chứng minh. Giả sửmsm(I)6= /0suy ra tồn tạid ∈msm(I).Khi đó với mọiitồn tại mi ∈min(I) sao cho mixi-nhãn của d, suy ra m| dxi. Mặt khác, ta lại có

degxi(m) =degxi(d) +1,suy raxi|m. MàI là iđêan không chứa bình phương nên

degxi(m) =1suy rami =xi. VậyI = (x1, . . . ,xn)mâu thuẫn với giả thiết.

Một phần của tài liệu (Luận văn thạc sĩ) Thuật toán slice cho phân tích bất khả quy của IĐêan đơn thức (Trang 35 - 36)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(48 trang)