2 Thuật toán Slice
2.5 Sự kết thúc và sự lựa chọn then chốt
Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng một số ràng buộc trong việc lựa chọn đơn thức then chốt sẽ tác động một cách hiệu quả đến việc đảm bảo cho thuật toán dừng.
Có bốn điều kiện để lựa chọn đơn thức then chốt p, trong đó hai điều kiện đầu
là đảm bảo cho thuật toán dừng, còn hai điều kiện cuối dùng để mở rộng thuật toán cơ sở.
• p∈/ S: Nếu p∈S thì slice ngoài bằng slice hiện tại.
• p6=1: Nếu p=1 thì slice trong bằng slice hiện tại.
• p∈/ I
• p|π(lcm(min(I))).
Một đơn thức then chốt thỏa mãn bốn điều kiện trên được gọi làđơn thức then
chốt hiệu lực. Mệnh đề sau cho thấy rằng một slice không phải là slice cơ sở thì
luôn có đơn thức then chốt hiệu lực.
Mệnh đề 2.5.1. Cho (I,S,q) là một slice chuẩn tắc và không tồn tại đơn thức then chốt hiệu lực. Khi đó I là iđêan không chứa bình phương.
Chứng minh. Giả sử I là iđêan đơn thức chứa bình phương. Khi đó tồn tại xi và
m∈min(I) sao chox2i |m. Điều này suy ra xi ∈/ I. Mặt khác, do (I,S,q) là slice chuẩn tắc nên theo định nghĩa ta có π(min(I))∩S = /0, vì xi |π(m) nên suy ra
xi ∈/ S. Vì thế xi thỏa mãn bốn điều kiện của đơn thức then chốt hiệu lực, mâu
thuẫn với giả thiết của mệnh đề. Vì thế,I là iđêan không chứa bình phương.
Mệnh đề 2.5.2. Việc lựa chọn đơn thức then chốt hiệu lực đảm bảo cho thuật toán dừng.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh thuật toán dừng bằng cách sử dụng tính chất mọi dãy tăng chặt các iđêan đều dừng trong vành NoetherR=k[x1, . . . ,xn]. Thật vậy,
choA= (I,S,q)không là slice cơ sở và p là đơn thức then chốt hiệu lực. Ta tách
Athành hai sliceA1= (I : p,S : p,qp)là slice trong vàA2= (I,S+ (p),q)là slice ngoài. Cho f vàglà các ánh xạ từ tập các slice vào tập các iđêan được định nghĩa như sau:
f(I,S,q) =S và g(I,S,q) = (lcm(min(I))).
Ta sẽ chứng minh các khẳng định sau: (i) f(A)⊆ f(A1); f(A)( f(A2)
(ii)g(A)(g(A1); g(A) =g(A2)
Thật vậy, ta có f(A) =S⊆S : p= f(A1).Mặt khác vì p là đơn thức then chốt hiệu lực nên p∈/ S.Do đó f(A) =S (S+ (p) = f(A2).
Tương tự, ta có I ⊆I : p,suy ra lcm(min(I))⊆lcm(min(I : p)). Mặt khác vì
A= (I,S,q) không là slice cơ sở nên theo Mệnh đề 2.4.5 ta cómsm(I)6= /0. Do đó tồn tại d ∈msm(I) suy ra dxi ∈I với mọi i.Vì p là đơn thức then chốt hiệu lực nên p6= 1, do đó pd ∈I. Vậy d ∈I : pmà d ∈/ I nên suy raI (I : p. Vì vậy
lcm(min(I))(lcm(min(I : p)suy ra g(A)(g(A1). Tiếp theo, từ định nghĩa ánh xạg ta có ngayg(A) =lcm(min(I)) =g(A2).
Từ các khẳng định trên, nếu cho A là một slice tùy ý và A′ là slice chuẩn tắc tương ứng thì f(A) ⊆ f(A′),g(A) ⊆ g(A′). Do đó f và g không bao giờ giảm, trong khi f là một dãy tăng chặt trên các slice ngoài thì g là một dãy tăng chặt trên các slice trong. Do đó theo tính chất của vành Noether thì các dãy trên phải dừng. Điều này có nghĩa là nếu cho một slice không phải là slice cơ sở thì sau một số hữu hạn bước áp dụng các Đẳng thức 2.3.4 và 2.3.4 thì ta thu được một slice cơ sở, hay thuật toán dừng.