ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
_________________________________________________
§1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Biết chiều dài một sản phẩm do một xưởng sản xuất ra là bnn X . Hãy ước lượng giá trị của .
là một tham số cần ước lượng. Muốn ước lượng nó, ta phải dựa vào mẫu gồm một số sản phẩm do xưởng này sản xuất. Ta có thể ước đoán bởi một giá trị hoặc ước đoán thuộc khoảng (a; b) nào đấy.
Trong thống kê, gọi là ước lượng điểm của , còn (a; b) là ước lượng khoảng của .
§2 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Giả sử bnn X đã biết được dạng của quy luật ppxs nhưng
chưa biết tham số nào đó. Ta ước đoán bởi một con số * như sau: Ta xây dựng hàm của mẫu ngẫu nhiên tổng quát là
.
Với mỗi mẫu ngẫu nhiên cụ thể (x1, x2, …, xn), ta lấy
Gọi
hay là ước lượng điểm của .
Để đánh giá chất lượng * xem “tốt” hay không ta không thể mong muốn nó thật gần bởi vì ta chưa biết . Vì vậy, dưới đây người ta đưa ra các tiêu chuẩn để dựa vào đó kết luận về chất lượng của *.
Ước lượng không chệch (ưlkc)
Gọi là ước lượng không chệch của , nếu
= , Ngược lại, nếu
Ước lượng hiệu quả (ưlhq)
Gọi là ước lượng hiệu quả của , nếu nó là ưlkc của và nhỏ nhất so với phương sai của mọi ưlkc khác của .
Ước lượng vững (ưlv)
Gọi là ước lượng vững của , nếu
Ý nghĩa của công thức này
Hầu như chắc chắn sai khác không nhiều miễn là n đủ lớn.
Các kết quả về ước lượng điểm
là ưlkc, ưlhq, ưlv của E(X).
, là ưlkc, ưlv của D(X). là ưlkc, ưlhq, ưlv của P(A).
§3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Phương pháp ước lượng điểm có nhược điểm là khi kích thước mẫu nhỏ thì ước lượng điểm tìm được có thể sai lệch rất nhiều so với tham số cần ước lượng. Ngoài ra không thể đánh giá được khả năng mắc sai lầm khi ước lượng. Để khắc phục các nhược điểm này, ta thường dùng phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy.
Giả sử bnn X đã biết được dạng của quy luật ppxs nhưng
chưa biết tham số nào đó. Ta đi tìm một khoảng để nó chứa với xác suất bằng như sau: Ta xây dựng như là các hàm của mẫu ngẫu nhiên tổng quát
và .
sao cho
Khi ấy ta gọi
.
là ước lượng khoảng (hay khoảng tin cậy của ), còn
là độ tin cậy của ước lượng này. Số đo khả năng để
Chú ý
Với một mẫu ngẫu nhiên cụ thể (x1, x2, …, xn), ta cũng gọi