bất đẳng thức với hàm số học
2.2.1. Hàm Euler và các ứng dụng liên quan
Hàm Euler của số tự nhiên n đ-ợc tính bằng lệnh {>phi(n);
Thí dụ: [ > phi(123456);
41088
Ng-ợc lại, ta cũng có thể tìm đ-ợc những số tự nhiên n nhận một số a cho tr-ớc làm giá trị Phi – hàm Euler của nó, bằng lệnh
[> invphi (a);
Thí dụ: [> invphi (41088) ;
[51365, 54655, 55705, 82184, 82304, 87488, 89128, …,154260,154320,179970].
Tuy nhiên đây là một công việc tính toán vô cùng phức tạp cho nên ngay cả với máy tính ta cũng không thể tìm đ-ợc giá trị của hàm với a đủ lớn trong khoảng thời gian có thể chờ đợi đ-ợc. Ngoài ra, l-u ý rằng phi - hàm không phải là ánh xạ toàn ánh cho nên không phải giá trị nào của a thì hàm invphi () cũng cho kết quả.
Thí dụ: [invphi(123);
[ ]
Ta biết rằng khi a và n là các số nguyên tố cùng nhau thì định lý Euler cho phép tìm nghịch đảo của số a theo modulo n, t-ơng tự nh- ta đã dùng
định lí Fermat để tìm nghịch đảo của số a theo modulo một số nguyên tố. Thủ tục này đ-ợc thực hiện nh- sau:
Tr-ớc hết ta kiểm tra tính nguyên tố cùng nhau của hai số a và n bằng lệnh tính -ớc chung lớn nhất của chúng:
[> gcd(a,n) ;
Nếu chúng không nguyên tố cùng nhau (kết quả lệnh trên khác 1) thì ta kết luận không tồn tại nghịch đảọ Ng-ợc lại, ta tính nghịch đảo của a theo modulo n bằng việc tính n 1
a , thông qua lệnh: [> õ(phi(n)-1) mod n ;
Ví dụ, tính nghịch đảo của số 56341 theo modulo 13713471 qua các lệnh sau: [> gcd(56341,13713471);
1 [> 56341&^(phi(13713471)-1) mod 13713471;
11683261 Kiểm tra lại ta thấy
[> 11683261*56341 mod 13713471; 1