Hàm số và tính toán đại số trong SGK Giải tích 12 nâng cao

n từ việc phâ tích ĐS10: Nhữg trê

2.4. Hàm số và tính toán đại số trong SGK Giải tích 12 nâng cao

 Phần lý thuyết:

Ở lớp 12, ngoài việc tiếp tục nghiên cứu các vấn đề của hàm số đã được giới khác của hàm iới thiệu như: cực trị, giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số g I. – Bài 2. Cực trị của hàm số tịnh tiện đồ thị đồ thị hàm số àm đa thức ố hàm phân thức hữu tỉ ị Đến lớp 12, nó trở thành công số. Điều này được chính SGK khẳng định khi chương I được đặt tên “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của

đường tiệm cận của đồ thị; từ đó khảo sát sự

iến th

thiệu ở lớp 10 (sự biến thiên, đồ thị của hàm số, …) còn nhiều vấn đề số cũng lần lượt được g

; đồ thị, tiệm cận của đồ thị hàm số và các vấn đề liên quan đến đồ thị của hàm số (sự tương giao, sự tiếp xúc giữa hai đồ thị của hàm số). Tất cả các nội dung này được GT12 trình bày trong chương I. Các chương tiếp theo giới thiệu các loại hàm số mũ, hàm số logarit và nguyên hàm, tích phân.

Trong luận văn này, chúng tôi không có điều kiện để phân tích toàn bộ bộ sách GT12, hơn nữa gần như mọi vấn đề của hàm số đều được đề cập ở chương I nên việc nghiên cứu của chúng tôi chỉ dừng lại ở chươn

Chương I: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽđồ thị của hàm số”

– Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số

– Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Bài 4. Đồ thị của hàm số và phép

– Bài 5. Đường tiệm cận của

– Bìa 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số h – Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một s – Bài 8. Một số bài toán thường gặp về đồ th

– Câu hỏi và bài tập ôn tập chương I

Đạo hàm của hàm số được giới thiệu ở lớp 11. cụ chủ yếu để nghiên cứu các vấn đề của hàm

hàm số” và được giới thiệu như sau:

“Trong chương này, chúng ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xét một số

tính chất quan trọng của hàm số và đồ thị: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và các

b iên và vẽđồ thị của hàm số”. ( GT12, tr13)

Câu hỏi đặt ra lúc này là, vai trò của tính toán đại số còn qua lớp 10

Sau đây, chúng tôi sẽ phân tích sơ lược các nội dung trong Chương I – GT12:

nhiên, công cụ để xét sự

ảng I.

n trọng như ở ? Nghiên cứu hàm số bằng phương pháp cao cấp có tạo điều kiện cho nghĩa tính toán đại số thể hiện không?

“Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽđồ thị của hàm số”.

Trong bài 1, tính đơn điệu của hàm số được nhắc lại. Tuy

biến thiên của hàm số bây giờ không phải là “trực giác” hay “tỉ số biến thiên” như ở lớp 10. Như giới thiệu ở phần trên, đạo hàm trở thành công cụ duy nhất để xét sự biến thiên của hàm số.

“Giả sử hàm số f có đạo hàm trên kho

Nếu f’(x) > 0 với mọi x  I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I. Nếu f’(x) = 0 với mọi x  I thì hàm số f không đổi trên khoảng I.”

(GT12, tr5)

Sau khi giới thiệu định lý này, tất cả nhiệm vụ yêu cầu xét chiề ủa hà

hàm có

u biến thiên c m số đều được giải quyết bằng công cụ đạo hàm. Chính GT12 đã xác nhận:

“Qua định lí này, ta thấy việc xét chiều biến thiên của một hàm số có đạo thể chuyển thành việc xét dấu đạo hàm của nó”. (GT12, tr5) Ví dụ: “Xét chiều biến thiên của hàm số y = x + ⁴ x sốđã cho xác định trên tập Ta có y’ = 1 – Giải \ {0} Hàm 2 4 x = 2 x 4 2 x 2

iến n a hàm sốđược nêu trong bảng sau:

x – 2 0 2 y’ = 0 x=  Chiều b thiê củ

   

 

Vậy hàm s ốđồng biến trên mỗi khoảng ( – 2) và (2 , nghịch biến trên i khoảng (– 2; 0) và (0; 2)”. (GT12, tr7)

Với hàm số trên, nếu dùng các kĩ thuật được giới thiệu ở lớp 10 (sử dụng định nghĩa sự biến thiên, tỉ số biến thiên) thì các tính toán đại số phải sử dụng sẽ

ới đ hạn c

;

 

“phức tạp” hơn nhiều. Ở đây, chính công cụ m ạo hàm đã hế nhiều tính toán đại số “phức tạp”.

Bài 2, GT12 trình bày về Cực trị của hàm số, một trong những vấn đề mới mà GT12 giới thiệu nhằm chuẩn bị cho việc khảo sát một hàm số cũng như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Các khái niệm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số, … lần lượt được giới thiệu. Bên cạnh đó, GT12 cũng rõ nêu các quy tắc để tìm cực trị của một hàm số. Đương nhiên, công cụ để xét cực trị của hàm số vẫn là đạo hàm.

Khái niệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số được giới thiệu trong Bài 3. Tuy các khái niệm này đã được sử dụng ở các lớp dưới nhưng đến lớp 12 chúng mới được định nghĩa một cách chính xác:

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D  ). Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho

f(x)  f(x0) với mọi x D

thì số M = f(x ) 0 được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là:

( M = max )  x D f x Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho f(x)  f(x0) với mọi x D

thì số m = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là: m = min ( )



x D f x

(GT12, tr18)

c f(x) và suy ra giá trị lớn nhất, giá trị ất của hàm số (theo định nghĩa trên). Nhưng ở đây, ngay mở đầu của bài 3, GT12 chỉ rõ: “Trong bài này ta s

tính đơ

Ở các lớp dưới, tính toán đại số được sử dụng để biến đổi, đánh giá biểu thứ nhỏ nh

ẽứng dụng n điệu và cực trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”. Như vậy, SGK nhấn mạnh đến công cụ đạo hàm, cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số như các lớp dưới không được coi trọng nữa.

Trong Bài 4, GT12 trình bày về Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa

chúng cũng phức tạp hơn và có nhiều vấn đề để nghiên cứu hơn. Phép tịnh tiến hệ tọa độ này đã được giới thiệu ở ĐS10 (trong Bài đọc thêm). Việc sử dụng phép tịnh

ến hệ

T12: Các đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại

điểm M

ti tọa độ kết hợp với các tính chất của đồ thị hàm số chẵn, lẻ của hàm số làm cho việc xác định tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị hàm số được giải quyết một cách thuận tiện hơn.

Sau đó, các loại tiệm cận của đồ thị hàm số cũng lần lượt được giới thiệu: tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên. Việc xác định các tiệm cận của đồ thị hàm số yêu cầu phải sử dụng các kỹ thuật tìm giới hạn của hàm số đã được giới thiệu ở lớp 11.

Cuối cùng, GT12 nêu các bước để khảo sát, vẽ đồ thị của một số hàm số đơn giản: hàm đa thức, hàm hữu tỉ và các vấn đề liên quan đến đồ thị của hàm số như: sự tương giao và sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số.

Tr51 – G

(x0; y0) khi và chỉ khi y0 = f(x0) và y0 = g(x0), tức là (x0; y0) là một nghiệm của hệ phương trình ( ) y f x ( ) y g x   

Như vậy, hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình

 

f(x) = g(x)

Số nghiệm của phương trình trên bằng s giao điểm của hai đồ thị.

Tr53 – GT12: Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và

ố chỉ khi hệ phương trình ( ) ( ) f x g x '( ) '( ) f x g x  _   

có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai

đường cong đó.

Khảo sát hàm số là đi xét các vấn đề của nó mà chúng tôi giới thiệu ở trên đó. Tuy nhiên, chương trình phổ thông chỉ giới hạn ở việc khảo sát 4 loại hàm số cơ bản: h

không quá phức tạp.

ai hàm đa thức và hai hàm phân thức. Việc khảo sát các vấn đề của những hàm số này cũng

Các vấn đề về đồ thị hàm số thường được đưa về việc giải quyết các phương trình, hệ phương trình.

 Các tổ chức toán học:

Qua phần lý thuyết nêu trên, chúng ta dễ thấy các kiểu nhiệm vụ mà GT12 đưa ra

ả lời cho những câu hỏi đặt ra trong phần lý thuyết.

ầu tiên chúng tôi nói đến một kiểu nhiệm vụ đã được đề cập từ các lớp dưới:

p 12, công c

.

ĩ thu 

sẽ chủ yếu được giải quyết bằng đạo hàm. Các tổ chức toán học được chúng tôi phân tích sau đây sẽ tr

Đ

TSBT: Xét sự biến thiên của hàm số trên K

Ở những lớp dưới, kiểu nhiệm vụ TSBT được giải quyết dựa vào định nghĩa sự biến thiên của hàm số, tỉ số biến thiên hay bằng “trực giác” từ đồ thị. Ở lớ

ụ để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là đạo hàm, cụ thể hơn là sử dụng dấu của đạo hàm

K ật SBT:

+ Tìm TXĐ D của hàm số + Tìm y’

+ Xét dấu y’

+ Kết luận sự biến thiên

Công ngh SB

T12

ệ T: Định lý về dấu của đạo hàm và sự biến thiên của hàm số

Tr5 – G

àm số được suy ra từ dấu của đạo hàm y’. Các phương pháp xét d ột biểu thức đã được giới thiệu ở lớp 10 (phương pháp xét dấu nh c; tích và thương các nhị thức, tam thức; phương pháp khoảng, …).

Ta thấy, sự biến thiên của h ấu m

ị thức, tam thứ

Xét câu a bài 1.3 BT-GT12, tr10:

Xét chiều biến thiên của hàm số f(x) = ¹

2 x⁴ + x³ – x + 5

Ta có: f’(x) = 2x³ + 3x² – 1. Bằng máy tính bỏ túi có thể dễ dàng tìm được hai nghiệm của f’(x) là – 1 và ¹

2 . Như vậy, một trong hai nghiệm sẽ là nghiệm kép, để xét kép đó. Việc này được thực hiện như thế

nào? C th ợc sử dụng để biến

đổi biểu thức f’(x):

f’(x) = 2x³ + 2x² + x² – 1

= 2x2(x + 1) + (x + 1)(x – 1) (1) dấu f’(x) cần xác định được nghiệm

= (x + 1)(2x² + x – 1) (2) = (x + 1)(x + 1)(2x – 1) (3) = (x + 1)²(2x – 1) (4)

từ đó xác định được nghiệm kép là – 1. Ở đây, tính toán đại số xuất hiện không theo chỉ dẫn, yêu cầu định sẵn mà nó xuất hiện trong quá trình xét dấu f’(x). Hơn nữa, việc phân tích biểu thức f’(x) thành nhân tử được kết thúc ở bước (2), bước (3) hay bước ( toán, nó được “quy định” bởi việc xác định cho được n g việ xét d u f”(x). Như vậy, ta có thể nói tính toán ưới hình thái hoạt ộng.

p có thể dụng tính toán đại số để biến đổi

y’ và dễ dàng háp xét dấu

4) nằm ngoài mục đích tính

ghiệm kép, một khâu cần thiết tron c ấ đại số ở đây xuất hiện d đ Ngoài ra, trong nhiều trường hợ sử

suy ra dấu của nó mà không cần sử dụng các phương p

một biểu thức được giới thiệu ở lớp 10. Các lời giải trong GT12 hay hướng dẫn giải trong SGV-GT12 cũng thể hiện rõ điều này.Như, ví dụ 3:

Xét sự biến thiên của hàm số 3 2 4 2 3 3     y x x x Giải Hàm sốđã cho xác định trên Ta có: y’ = 4x² – 4x + 1 = (2x – 1)² y’ = 0 với x = ¹ 2 và y’ > 0 với mọi x ¹ 2  _{(GT12, tr6)} ược sử dụng để đưa y’ về dạng (2x – 1)² từ đó xác định dấu của y’ và biết được chiều biến thiên của hàm số.

Xét hoạt động H2: Xét chiều biến thiên của hàm s

Như vậy, hằng đẳng thức đã đ ố: 5 x4 10 3 7 2 5     y x x (GT12, tr7) được Ta có: y’ = 10x⁴ + 20x³ + 10x² = 10x²(x + 1)² y’ 0 với mọ hứ iểm x = – 1 và 3 3

Lời giải trình bày như sau:

i x  , đẳng t c chỉ xảy ra tại hai đ x = 0.



Do đó hàm sốđồng biến trên (SGV-GT12, tr24)

Bằng các tính toán đại số (đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng thức), y’ đã

được đ u của nó. Bằng phương

pháp khoảng hoàn toàn có thể xét dấu được biểu thức y’. Tuy nhiên, nếu thực hiện như vậy sẽ không “kinh tế” bằng lời giải nêu trên.

Phân tích trên cho thấy việc sử dụng các tính toán đại số, trong nhiều trường

hợp, sẽ ố đơn giản hơn, nhanh

hơn. K đ i yết

kiểu n

giúp cho việc nghiên cứu chiều biến thiên của hàm s

hi ó, tính toán đạ số thể hiện được vai trò của mình trong việc giải qu hiệm vụ TSBT, qua đó chúng ta thấy được nghĩa của chúng. Tuy nhiên, phần lớn đạo hàm của các hàm số được cho trong SGK đều là các biểu thức đơn giản, việc xét dấu các biểu thức này thường là dễ dàng. Khi đó, việc sử dụng các tính toán đại số sẽ bị hạn chế.

TCTr: Tìm cực trị của hàm số

GT12 nêu rõ kĩ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này như sau:

Kĩ thuật CTr1:

+ Tìm f’(x).

+ Tìm các điểm xi tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

+ Xét dấu f’(x).

+ f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xi : hàm số đạt cực trị tại xi

Kĩ thuật CTr2:

+ Tìm

+ Tìm ương trình f’(x) = 0. à tính f”(xi).

số đạt cực tiểu tại điểm xi. CTr: Định lí 2, 3 Tr14, 15 – GT12

) nên khi đó vai trò của tính to ơng tự như trong phân tích ở kiểu nhiệm vụ TTXD. Thực hiện Ctr2, tính toán đại số chủ yếu được sử dụng trong quá trình giải

n việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên hiệm vụ tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nh ược giới thiệu trong GT12.

T ị l

f’(x).

các nghiệm xi của ph + Tìm f”(x) v

f”(xi) < 0: hàm số đạt cực đại tại điểm xi. f”(xi) > 0: hàm

Công nghệ

Theo kĩ thuật Ctr1 cũng phải xác định dấu của f’(x án đại số cũng tư

theo kĩ thuật

phương trình f’(x) = 0. Nhiều bài toán dẫn đế

một tập hợp số thực cho trước, nên kiểu n ất của một hàm số là kiểu nhiệm vụ thứ 3 đ

NNLN: Tìm giá tr ớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số f(x) trên tập D

Kĩ thuật NNLN.ĐN: Sử dụng định nghĩa

+ Tìm x0 D: a = f(x0) + a = max ( )  f x (ho min ( )  x D f x ) ặc a = x D Kĩ thuật NNLN.BT: Sử dụng bảng biến thiên

+ Sử dụng kĩ thuật SBT để lập bảng biến thiên của f(x) trên D

+ Từ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D

Kĩ thuật _NNLN.Đ: Sử dụng khi f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên

khoảng :

ó à bằng 0 hoặc không có đạo

f(xi), f(a)

+ So sánh các giá trị tìm được.

ớn nhất của f trên đoạn [a; b], số nhỏ nh

C _NNLN

trị lớn nhất và nhỏ nhất a của hàm số đòi

này hiển nhiên phải sử dụng tính toán đại số. Kĩ thuật này được sử sụng đ ên sau khi GT12 giới thiệu khái niệm giá trị lớn nhất

và giá tập D.

(a; b), có thể trừ một số hữu hạn điểm

+ Tìm các điểm xi thuộc (a; b) tại đ hàm số f có đạo h m hàm.

+ Tính , f(b).

Số lớn nhất trong các giá trị đó lá giá trị l

ất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [a; b].

ông nghệ : Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên tập D. Với kĩ thuật _NNLN.ĐN, muốn tìm được giá

hỏi phải sử dụng các tính toán đại số để biến đổi và “đánh giá” biểu thức f(x). Việc biến đổ

ể giải quyết ví dụ đầu ti