, (1.82) ở đây các giản đồ có bóng đôi là các phần giản đồ chân không trong
Đối xứng Peccei-Quinn và khối lượng các quark trong mô hình
2.2 Đối xứng Peccei-Quinn
Đối xứng Peccei - Quinn là lời giải tốt nhất cho vấn đề Strong-CP, bằng cách giả thiết là lý thuyết có thêm đối xứng chiral toàn cục
U(1)P Q. Sau đây, chúng ta sẽ bắt đầu với vấn đề Strong-CP, đó là cơ sở và động lực để xây dựng lý thuyết đối xứng Peccei-Quinn.
2.2.1 Vấn đề Strong-CP
Trong lý thuyết QCD, khi làm việc với Lagrangian ta gặp một số hạng vi phạm CP dạng: L = θ 16π2FaµνFfµνa , (2.48) với f Fµνρσa = 1 2µνρσF ρσa, (2.49) và µνρσ là tensor phản xứng có µ, ν, ρ, σ = 0,1,2,3, 0123 = 1. Dễ nhận thấy số hạng này là một vi phân toàn phần nên người ta cho rằng nó không gây ra hiệu ứng vật lý. Nhưng thực tế, vì đây là toán tử vi phạm CP (CP = −1) nên nó cho đóng góp vào moment lưỡng cực điện của neutron (neutron electric diplole moment) [26]. Từ thực nghiệm đo moment này người ta thấy θ có giá trị cực nhỏ θ 10−9. Giá trị cực nhỏ này là một điều không tự nhiên đối với các lập luận lý thuyết. Theo logic và kỳ vọng của lý thuyết thì giá trị của θ đo được là bất kì. Đây là một vấn đề lớn đòi hỏi một câu trả lời thỏa đáng và được gọi là vấn đề Strong- CP (CP strong problem).
Về mặt lý thuyết, chúng ta có thể chứng minh được rằng số hạng (2.48) nhận đóng góp từ hai nguồn chính:
• Từ trung bình chân không của lý thuyết được gọi là "instantons".
• Từ sự định nghĩa lại pha của các trường có trong lý thuyết có
liên quan đến một loại đối xứng U(1) chiral được gọi là đối xứng Peccei-Quinn, ký hiệu U(1)PQ.
Theo cách thứ nhất, thì các trường fermion phải có khối lượng bằng không, khi đó chúng ta có thể tùy ý định nghĩa lại pha của trường để đảm bảo cho đóng góp toàn phần θ luôn bằng không với mọi đóng góp bất kỳ từ instantons. Tuy nhiên, thực nghiệm đã cho thấy rằng các quark luôn có khối lượng nên cách xử lý trên không hợp lý.
Cách giải quyết thứ hai là hợp lý hơn cả, cách giải quyết này do Peccei-Quinn đề xuất năm 1977 [24]. Theo đó, từ giả thiết lý thuyết ban đầu chứa các fermion không khối lượng, Peccei-Quinn đưa vào các trường vô hướng sinh khối lượng cho các quark thông qua phá vỡ đối xứng U(1)PQ. Tiếp theo, sử dụng hai điều kiện lý thuyết phải thỏa
mãn là điều kiện cực tiểu thế của trường vô hướng và điều kiện thực của ma trận khối lượng quark, người ta thu được tổng đóng góp từ "instanton"và định nghĩa lại pha của trường quark luôn bằng không. Nói cách khác, khi đó lý thuyết thỏa mãn CP bảo toàn và vấn đề Strong- CP được giải quyết trọn vẹn. Một điều thú vị khác đối với lý thuyết trên được Weinberg phát hiện là sự phá vỡ đối xứng U(1)PQ
có liên quan đến sự xuất hiện của một hạt có khối lượng rất nhẹ gọi là axion [25]. Hạt này được xem là một trong các ứng cử viên của vật chất tối và hiện nay đang được thực nghiệm rất quan tâm và tìm kiếm. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét cụ thể nguồn đóng góp vào số hạng vi phạm CP mà Peccei-Quinn đề xuất.
2.2.2 Đóng góp từ phép biến đổi U(1) chiral vào số hạng vi phạm CP trong QCD
Để thấy rõ được ảnh hưởng của phép biến đổi pha khi tác dụng lên các trường fermion sinh ra số hạng vi phạm CP, ta xét một Lagrangian đơn giản nhất gồm một quark dạngqD =
q q
q∗
trong biểu diễn spinor 4 thành phần, và một trường chuẩn U(1) có tenxơ cường độ trường
Fµν = ∂µFν−∂νFµ. Các spinor hai thành phần q, q¯là các spinor Weyl trái.
Xét số hạng động năng của trường fermion:
L1 = iψγµDµψ = iqDγµDµqD (2.50) với qD = qD+γ0 = q∗ q∗∗ 0 1 1 0 = q∗ q 0 1 1 0 = q q∗ , (2.51) γµ = 0 σµ σµ 0 . (2.52)
ta được số hạng động năng trong biểu diễn hai thành phần,
L1 = i q q∗ 0 σµ σµ 0 Dµ q q∗ = iq∗σµDµq +iqσµDµq∗ (2.53)
Để cho gọn trong các biểu thức chứa spinor hai thành phần, ta định nghĩa
iσµDµq = q/ (2.54)
iσµDµq∗ = q/∗ (2.55) Suy ra số hạng động năng viết ở dạng spinor 2 thành phần như sau:
L1 = q∗q/+qq/∗ (2.56) Tương tự cho số hạng khối lượng, liên hệ giữa cách viết bốn thành phần và hai thành phần cho các trường fermion được mô tả theo hệ thức:
L2 = mψψ = mqDqD = m(qq +q∗q∗) (2.57) Trong biểu diễn Dirac thông thường khối lượng m luôn được chuyển về dạng số thực. Với trường hợp tổng quát ta có thể viết biểu thức của L2 dưới dạng khối lượng phức:
L2 = mqq +m∗q∗q∗ (2.58) Như vậy từ (2.56) và (2.58) ta thu được Lagrangian tổng quát có dạng sau:
L = −41g2FµνFµν +q∗q/+qq/∗+mqq +m∗q∗q∗ (2.59) ở đây khối lượng có giá trị phức
m = |m|eiθ (2.60)
Số hạng khối lượng mqq + m∗q∗q∗ trong biểu diễn hai thành phần trong Lagrangian (2.59) cũng có thể viết được theo bốn thành phần:
mqq +m∗q∗q∗ = (Re m+iIm m)qq+ (Re m+iIm m)∗q∗q∗
= Re m(qq +q∗q∗) +iIm m(qq −q∗q∗)
= Re mqDqD + iIm mqDγ5qD (2.61) Khối lượng viết dưới dạng Dirac phải là số thực, do đó ta phải loại số hạng thứ hai trong (2.61). Để làm được điều này ta chọn một phép
biến đổi đối xứng U(1) để khử nhưng phải đảm bảo Lagrangian bất biến.
Biến đổi đối xứng viết theo biểu diễn hai thành phần như sau:
q → q0 = e−2iθq ; q →q0 = e−2iθq, (2.62) còn theo dạng bốn thành phần:
qD → qD0 = e−2iθγ5q ; qD →qD0 = e−2iθγ5qD (2.63) Từ đây ta thấy đây chính là đối xứng U(1) chiral. Đối xứng này được Peccei-Quinn dùng để xử lý vấn đề strong CP nên thường được gọi là đối xứng Peccei-Quinn, ký hiệu U(1)PQ. Khi đó số hạng khối lượng sẽ biến đổi như sau:
mqq+ m∗q∗q∗ = |m|eiθ e−2iθq e−2iθq + (|m|eiθ)∗(e−2iθq)∗(e−2iθq)∗ = |m|(qq +q∗q∗) (2.64) Biểu thức (2.64) cho thấy, qua phép biến đổi đối xứng (2.62) thành phần khối lượng phức đã chuyển sang thực tức cho ta khối lượng là số thực.
Thông thường khi thực hiện một phép biến đổi đối xứng mà La- grangian vẫn bất biến thì các hiệu ứng vật lý không thay đổi. Nhưng, ở đây lại có sự thay đổi hiệu ứng vật lý do ảnh hưởng của chân không trong QCD, ảnh hưởng này sinh ra một số hạng δLef f vi phạm CP. Số hạng này được xác định theo phương pháp tích phân đường cho lý thuyết có đối xứng chiral U(1) gọi là U(1)P Q.
Dùng phương pháp tích phân đường với phiếm hàm:
Z = Z [dAµ]Z [dq] [dq] eiS (2.65) trong đó S = R d4x L là tác dụng của lý thuyết.
Từ (2.65) lấy tích phân theo dq, dq thì S → Sef f, L → Lef f. Khi đó:
Z = Z [dAµ]Z eiSef f (2.66) Thực hiện phép biến đổi đối xứng (2.62) tức q → q0, q →q0, sau đó ta lấy tích phân theo q’, q0 thì S và L lại biến đổi như sau:
L →L0 = Lef f +δLef f (2.68) trong đó
δLef f = 1
32π2θ T r(FµνFfµν). (2.69) Số hạng δSef f có trị riêng CP bằng -1 nên gọi là số hạng vi phạm CP. Từ đó ta có thể nói, sự vi phạm CP phụ thuộc vào θ.
Như vậy ban đầu Lagrangian QCD được mô tả bởi các số hạng khối lượng, số hạng tương tác chuẩn, số hạng động năng. Nhưng ngay sau đó, từ dị thường trục trong QCD người ta thấy xuất hiện một tham số mới θ trong Lagrangian:
L = θ 16π2FaµνFfµνa , (2.70) với f Fµνρσa = 1 2µνρσF ρσa. (2.71) Số hạng (2.70) chính là số hạng Lagrangian vi phạm CP, có nguồn gốc do sự đóng góp từ phép biến đổi U(1) chiral. Đó là cơ sở để chúng ta tiến tới cách giải quyết vấn đề CP.
2.2.3 Xây dựng lý thuyết giải thích θ nhỏ
Từ (2.68), ban đầu ta có số hạng vi phạm CP như sau:
Lef f = L+ iθg
2
32π2Fµνa Ffaµν (2.72) Xét Lagrangian đơn giản nhất gồm một trường fermion ψ, một trường vô hướng φ và một trường chuẩn Aµ có tenxơ cường độ trường
Fµνa = ∂µAaν −∂νAaµ. Khi đó Lagrangian: L = 1 4F a µνFaµν +iψDµγµψ+ψ[Gφ (1 +γ5 2 ) +G ∗φ∗(1−γ5 2 )]ψ − |∂µφ|2−µ2|φ|2−h|φ|4, (2.73) trong đó số hạng thứ nhất là động năng của trường chuẩn, số hạng thứ hai là động năng của trường fermionψ, số hạng thứ ba là số hạng tương tác giữa trường vô hướng φ với trường fermion ψ, số hạng thứ
tư là động năng của trường vô hướng φ, hai số hạng còn lại là thế vô hướng V(φ) giống như mô hình chuẩn nhưng khác ở chỗ φ ở đây là đơn tuyến còn mô hình chuẩn φ là đa tuyến.
Để có phá vỡ đối xứng tự phát xảy ra ở đây ta xét µ2 < 0. Dưới tác dụng của đối xứng U(1)P Q:
ψ → ψ0 = eiσγ5
ψ, φ → φ0 = e−2iσφ (2.74) Sử dụng phương trình tích phân đường ta có Lagrangian biến đổi một lượng là vi phân toàn phần δLef f:
L → L0 = L+ δLef f (2.75) làm cho S biến đổi một lượng δSef f ,
Sef f → Sef f0 = Sef f +δSef f (2.76) trong đó δSef f = −i2σg 2 32π2 Z d4xFµνa Ffaµν ≡ Z d4xδLef f, (2.77) với δLef f = −i2σg2 32π2 Fµνa Ffaµν (2.78) Kết quả là Lagrangian hiệu dụng toàn phần Lef f trong (2.72) dưới tác dụng của phép biến đổi U(1)P Q có dạng mới sau:
Lef f →L0ef f = L+ iθg 2 32π2Fµνa Ffaµν + −i2σg2 32π2 Fµνa Ffaµν = L+ ig 2(θ−2σ) 32π2 Fµνa Ffaµν (2.79) So sánh (2.72) và (2.79) ta có thể nói, qua đối xứng U(1)P Q thì:
θ → θ0 = θ−2σ (2.80)
Nghĩa là qua đối xứng U(1)P Q thì sự vi phạm CP của lý thuyết bây giờ lại phụ thuộc vào θ0. Lý thuyết không vi phạm CP tương ứng với
θ0 = 0. Peccei - Quinn giải thích θ0 = 0 bằng 2 điều kiện:
• Cực tiểu thế V(φ) dẫn đến:
arg(eiθ0G<φ>) =α = 0 (2.81) trong đó α được định nghĩa trong tích phân phiếm hàm dưới đây. Thật vậy, xét tích phân phiếm hàm sau:
Zθ(J, J∗) = X
q eiθqZ (dAµ)qZ dψZ dψZ dφZ φ∗
exp[Z d4xL(φ, ψ, A) +J∗φ∗] (2.82) Dựa vào (2.82) ta tính được trung bình chân không của trường vô hướng φ theo các tham số λ , β được định nghĩa như sau:
1
Zθ
δZθ
δJ |J=J∗=0 =< φ >= λeiβ (2.83) trong đó λ, β là các hằng số thực cần xác định theo điều kiện cực tiểu thế.
Đến đây ta biểu diễn φ dưới dạng phức theo các biến vô hướng mới
ρ, σ, β, λ: φ = eiβ(λ+ρ+iσ) (2.84) Từ (2.83) và (2.84) suy ra: < ρ > = 0, < σ > = 0 (2.85) Khi đó:
α = arg(eiθ0Gλeiβ) = arg[ei(θ0+β)Gλ] = arg[ei(θ0+β)G] (2.86) Vì λ là hằng số thực không liên quan đến góc nên trong (2.86) ta bỏ qua nó.
Thay (2.84) vào (2.82) và tính toán chi tiết như trong [24], ta thu được biểu thức trung bình chân không của hai trường vô hướng mới ρ, σ:
< ρ > = Z dρZ dσ ρ [A0+X
n Fncosnα], < σ > = Z dρZ dσ σ2X
Kết hợp (2.85) và (2.87) ta có: Z dρZ dσ ρ [A0+X n Fncosnα] = 0 (2.88) Z dρZ dσ σ2X n Gnsinnα = 0 (2.89) Từ đó ta suy ra: α = 0 hoặc α = π (2.90)
Từ điều kiện cực tiểu của thế V(φ) =µ2φ∗φ +h(φ∗φ)2−k|φ|cosα
suy ra α nhận giá trị bằng 0 (α = 0). Như đã nói ở trên, khi α = 0
thì θ0 = 0 dẫn đến lý thuyết sẽ bảo toàn CP. 2.2.4 Khử số hạng vi phạm CP
Nếu θ0 = 0 thì số hạng vi phạm CP trong Lagrangian hiệu dụng (2.79) biến mất nghĩa là lý thuyết sẽ bảo toàn CP. Do đó vấn đề đặt ra là phải giải quyết như thế nào để cho θ0 = 0.
Để giải quyết vấn đề này ta xét Geiθ0 < φ > trong (2.81) và viết tách phần thực và phần ảo như sau:
Geiθ0 < φ >= |G|ei arg(G) eiθ 0
(λeiβ) = (λ|G|)ei[arg(G)+θ0+β] (2.91) Suy ra:
α = arg(Geiθ < φ >) = arg(G) + θ0 +β (2.92) Như lập luận ở trên:
α = 0 (2.93)
Kết hợp (2.92) và (2.93) ta suy ra:
arg(G) + θ0 +β = 0 (2.94) Bây giờ ta thay vào Lagrangian và chỉ xét trung bình chân không của trường φ.
Thay:
G→ |G| ei argG = |G| e−i(θ0+β), (2.96) khi đó số hạng khối lượng trong Lagrangian là:
Lmass = ψ [Gφ(1 +γ5 2 ) +G ∗φ∗(1−γ5 2 )] ψ = ψ [|G|e−i(θ0+β)λeiβ(1−γ5 2 ) + |G|ei(θ0+β)λe−iβ(1 +γ5 2 )]ψ = (|G|λ)ψ [e−iθ0(1−γ5 2 ) + e iθ0 (1 +γ5 2 )]ψ, (2.97) với: γ5 = I2 0 0 −I2 (2.98) Ta có: 1−γ5 2 = 0 0 0 I2 ; 1 +γ5 2 = I2 0 0 0 (2.99) Lmass = (|G|λ)ψ [e−iθ0(1−γ5 2 ) + e iθ0 (1 +γ5 2 )]ψ = (|G|λ)ψ [e−iθ0 I2 0 0 0 +eiθ0 0 0 0 I2 ]ψ = (|G|λ)ψ [ I2e−iθ0 0 0 I2eiθ0 ]ψ = (|G|λ)ψ [ I2(cosθ0 −isinθ0) 0 0 I2(cosθ0 −isinθ0) ]ψ = (|G|λ) ψ[ I2cosθ0 0 0 I2cosθ0 + iI2sinθ0 0 0 −iI2sinθ0 ]ψ = (|G|λ) ψ[cosθ0I4+ iI2sinθ0 0 0 −iI2sinθ0 ]ψ = (|G|λ) ψ[cosθ0 +i I2 0 0 −I2 sinθ0]ψ
= (|G|λ) ψ[cosθ0 +iγ5sinθ0]ψ
= (|G|λ) ψ eiγ5θ0
ψ (2.100)
• Để khối lượng là thực thì đại lượng phức eiγ5θ0
phải bằng 1 tức là
θ0 = 0
• Khi θ0 = 0 dẫn đến số hạng i(θ−2σ)
32π2 Fµνa Faµν sẽ mất đi, khi đó Lagrangian sẽ bảo toàn CP.
Dễ dàng nhận thấy để Lagrangian bảo toàn CP thì ta phải đưa trường vô hướng φ vào để phá vỡ đối xứng PQ. Vì trung bình chân không < φ >= λeiβ 6= 0, khác không là vì λ phải luôn khác không để
Lmass tồn tại.
Như vậy phải tồn tại trường vô hướng φ trong lý thuyết, mà φ =
eiβ(λ + ρ + iσ) dẫn đến một thành phần trong khai triển của φ là axion. Điều này đã được S. Weinberg tiên đoán và hiện nay vẫn đang tiếp tục là vấn đề hấp dẫn trong khoa học.