, (1.82) ở đây các giản đồ có bóng đôi là các phần giản đồ chân không trong
Đối xứng Peccei-Quinn và khối lượng các quark trong mô hình
2.3 Đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình E331 Để nghiên cứu đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm,
Để nghiên cứu đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm, ta đưa thêm vào nhóm đối xứng chuẩn đối xứng toàn cụcU(1)H. Nhóm đối xứng của mô hình bây giờ là:
SU(3)C ⊗SU(3)L⊗U(1)X ⊗U(1)H. (2.101) Điều kiện để đối xứng này đóng vai trò như là đối xứng Peccei- Quinn là tồn tại các dị thường chiral [SU(3)C]2U(1)H 6= 0 . Mặt khác, các tương tác Yukawa bất biến với đối xứng này, nên ta có mối liên hệ giữa các tích của nhóm U(1)H là: −HQ1 +HU +Hχ = 0, −HQ+HD −Hχ = 0, (2.102) −HQ1 +Hu+Hχ = 0, −HQ +Hd −Hχ = 0, (2.103) −HQ1 +Hd+Hφ = 0, −HQ+ Hu−Hφ = 0, (2.104) −HQ1 +HD +Hφ = 0, −HQ +HU −Hφ = 0, (2.105) −Hψ +He+Hφ = 0, 2Hψ +Hφ = 0, (2.106) trong đó, ta sử dụng kí hiệu HΨ cho tích U (1)H của đa tuyến Ψ
Kết hợp với điều kiện dị thường của nhóm đối xứng chuẩn, ta có:
[SU(3)C]2U(1)H ∼ 2Hχ +Hφ 6= 0. (2.107) Trước khi giải hệ phương trình (2.102 – 2.106, 2.107), ta thấy rằng, nếu H là nghiệm nào đó, (ví dụ như HΨ...) thì H phải thỏa mãn các điều kiện sau [33]:
• Nghiệm bất biến với các thang đo. Nghĩa là nếu H là nghiệm thì
cH cũng là nghiệm.
• Hai nghiệm được gọi là khác nhau (độc lập tuyến tính với nhau)
nếu chúng không liên hệ với nhau qua một phép biến đổi bất biến.
• Các nghiệm độc lập tuyến tính với nhau là khác nhau. Ví dụ:
(Hφ, Hχ) = (0,1), (1,0), hoặc (1,1).
• Mỗi nghiệm khác nhau tương ứng với một đối xứng Peccei-Quinn.
Do đó, số nghiệm khác nhau chính là số đối xứng Peccei-Quinn có trong mô hình.
Các phương trình (2.102-2.106), được rút gọn lại thành các phương trình sau:
Hu = HU, Hd = HD, Hψ = −Hφ/2, He = −3Hφ/2, Hu−Hd = Hφ −Hχ,
Hu−HQ = Hφ, Hu+Hd = HQ+HQ1. (2.108) Chúng ta có 10 biến số độc lập trong 7 phương trình. Do vậy, số nghiệm của hệ phương trình về mặt toán học là vô số. Chẳng hạn, cho Hφ = 0, ta được: Hψ = He = 0, Hu = HU = HQ, Hd = HD = HQ1
và Hu −Hd = −Hχ. Tiếp tục chọn a ≡ Hχ 6= 0 và b ≡ Hu ta được, nghiệm có dạng:
H(φ, χ, ψ, e, u, U, Q, d, D, Q1) = (0, a,0,0, b, b, b, a+b, a+b, a+b).
(2.109) Do việc chọn a, b là tùy ý nên sẽ có vô số nghiệm.
Trong bảng 2.3, chúng ta đưa ra ba nghiệm tương ứng với ba đối xứng Peccei-Quinn bằng cách chọn ba bộ số:(a, b) = (0,1), (1,0), (1,1)
Nhóm đối xứng SU(3)L ⊗U(1)X ⊗U(1)H (trong đó hai nhóm đối
Bảng 2.3: Ba đối xứng chiral trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm
QαL Q1L (uaR, UR) (daR,DαR) ψaL eaR φ χ
−1 1 0 0 −1/2 −3/2 1 1
1 2 1 2 0 0 0 1
1 2 2 1 −1/2 −3/2 1 0
xứng đầu là đối xứng định xứ, nhóm cuối cùng là nhóm đối xứng toàn cục) sẽ bị phá vỡ đối xứng khi các vô hướng nhận trung bình chân
không.
Tất cả các vi tử còn dư sau khi phá vỡ đối xứng tự phát xảy ra đều có dạng: αiTi+γX+δH. Nếu có vi tử còn lại sau khi phá vỡ đối xứng tự phát thì có thể chúng ta sẽ có đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình.
Toán tử P Q trong trường hợp này được đưa ra dưới dạng:
P Q = αT3+βT8+γX +δH (δ 6= 0). (2.110) Khi cho toán tử P Q tác dụng lên các trung bình chân không, ta có:
P Q(hφi) = 0, P Q(hχi) = 0. (2.111)
Tương ứng với các phương trình:
α 2 + β 2√ 3 +γXχ +δHχ = 0, −α2 + β 2√ 3 +γXφ +δHφ = 0, −√β 3 +γXχ +δHχ = 0.
Kết hợp các phương trình này, với chú ý 2Xχ + Xφ = 0, ta được
δ(2Hχ +Hφ) = 0
Nếu δ = 0 thì U(1)H tách ra và bị phá vỡ đối xứng hoàn toàn. Thật vậy, các Goldstone boson sẽ kết hợp với U(1)H trước để phá vỡ đối xứng toàn cục, sau đó sẽ phá vỡ nhóm đối xứng chuẩnSU(3)L⊗U(1)X. Trong trường hợp này, điều kiện dị thường[SU(3)L]2U(1)H, tương ứng với đối xứng Peccei-Quinn không cần kiểm tra đến.
Nếu δ 6= 0, thì 2Hχ+Hφ = 0, điều này mâu thuẫn với (2.107). Tức là đối xứng dư còn lại sau phá vỡ đối xứng tự phát không phải là đối xứng Peccei-Quinn của mô hình. Trong điều kiện (2.107), khi δ = 0
thì thay vào các phương trình trên, ta có: β = −α/√
3 và γ = α. Tức là P Q = αQ, P Q là đối xứng còn dư sau khi phá vỡ đối xứng tự phát và có dạng đối xứng vector, không phải đối xứng chiral-đối xứng Peccei-Quinn. Khi ta đưa cả đối xứng số baryon (U(1)B) vào đối xứng toàn cục, thì toán tử P Q cuối cùng có dạng [33]:
P Q = αQ+ξB. (2.112)
Đây là kết luận hết sức quan trọng, việc không tồn tại đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình 3-3-1, sẽ cho phép các quark u và quark
d nhận khối lượng khi tính đến bổ đính bậc cao, mặc dù ở mức cây các quark này không có khối lượng.