a) (x2 + x)2 − 3(x2 + x) − 15 ; b) x2 + 2xy + y2 − x − y − 12 ; c) (x2 + x + 4)(x2 + x + 6) − 12 ;
3.2.2.4 Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm của đa thức a. Phương pháp: a. Phương pháp:
Cách 1:Dựa vào kết luận:
- Nếu đa thức f(x) có một nghiệm là a thì đa thức chứa một nhân tử là: (x - a) - Nếu đa thức f(x)có một nghiệm là qp thì đa thức chứa một nhân tử là(qx - p) Dựa vào đó ta sẽ tách đa thức f(x) sao cho xuất hiên nhân tử (x - a) hoặc (qx - p)
Cách 2: Dựa vào định lý Bơdu
- Đa thức f(x) có nghiệm là a thì f(x) chia hết cho (x - a). Vậy f(x) = (x-a)g(x) Tìm g(x) bằng cách lấy f(x) chia cho (x-a)
- Đa thức f(x) có nghiệm làqp thì f(x) chia hết cho (qx - p). Vậy f(x) = (qx-p)g(x)
Tìm g(x) bằng cách lấy f(x) chia cho (qx - p).
Cách tìm nghiệm của đa thức
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Ví dụ: xét đa thức P = x3 + 3x2 – 4
Nếu đa thức P có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử còn lại có dạng (x2 + bx + c) hay P = (x - a)(x2 + bx + c)
=> -ac = - 4 vậy a là ước của - 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi.(hạng tử tự do)
Ước của (- 4 ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức => đa thức chứa nhân tử ( x - 1). Do vậy ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x - 1).
b. Ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích x3 + 3x2 – 4 thành nhân tử. Cách 1: x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2 Cách 2: x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1) +3(x - 1)(x + 1) 27
= ( x - 1)(x + 2)2
Chú ý:
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức có một nghiệm là 1 (hay chứa nhân tử (x-1))
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm là (- 1) hay chứa nhân tử ( x + 1).
Ví dụ 2: a. Đa thức:f(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0 ⇒ Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)
Giải: x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 – x2 – 4x2 + 8x – 4 = (x3 – x2 ) – (4x2 - 8x + 4) = x2(x - 1) – 4(x - 1)2 = (x - 1)(x2 – 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2 b.Đa thức: f(x) = 5x3 - 5x2 + 3x + 13 có -5 + 13 = 5 + 3
⇒ Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1). Vậy f(x) = ( x + 1).g(x)
ta có: g(x) = (5x3 - 5x2 + 3x + 13): (x + 1) = (5x2 – 10x +13) Suy ra: 5x3 - 5x2 + 3x + 13 = (x + 1)(5x2 – 10x +13)
+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có
nghiệm hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạngqp trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử có bậc cao nhất.
Ví dụ 3: phân tích đa thức: 2x3 - 5x2 + 8x – 3 thành nhân tử. Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là:(-1), 1, ( 1
2− − ), ( 3 2 − ),(3 2),(- 3),... Sau khi kiểm tra ta thấy x =
21 1
là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x – 2 1
) hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung ( 2x - 1) Giải: Cách 1: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3 = x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1) = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Cách 2: Áp dụng định lý Bơ du f( x ) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3 có một nhgiệm là : 2 1 . Vậy f ( x ) = ( 2x – 1 )g(x). g(x ) = ( 2x3 – 5x2 + 8x – 3) : ( 2x – 1 ) = x2 – 2x + 3. Suy ra f ( x ) = (2x – 1 ) ( x2 – 2x + 3 ). Ví dụ 4:
Phân tích đa thức f ( x ) = 5x3 – 15x2 – 32x – 12 thành nhân tử. Giải:
f(x) = 5x3 – 15x2 – 32x – 12 có một nghiệm là -1 ( -1 là ước của12.) f( x) = ( x + 1).g(x).
g(x) = (5x3 –15 x2 – 32x –12 ):( x +1) = 5x2 –20x –1. f(x ) = (x +1)(5x2 – 20x –1).
c. Bài tập:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3 – 5x + 4 ; b) x3 + 17x – 16 ; c) x3 – 5x + 8x – 4 ; d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; g) x3 – x2 + x – 2 ; h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – 6 (giải bằng nhiều cách).
3.2.2.5 Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất địnha. Phương pháp: a. Phương pháp:
Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.
b.Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Các hệ số ± 1; ± 3 là Ư(3) nhưng không phải là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm nguyên.
Như vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân này cho kết quả:
x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được
a + c = - 6 ac + b + d = 12 ad + bc = - 14 bd = 3 Xét bd = 3 với b, d ∈ z; b ∈ {± 1; ± 3}; với b = 3 thì d = 1. Hệ trên thành: a + c = - 6 ac = 8 a + bc = -14 2c = -14 + 6 = - 8 do đó c = - 4; a = - 2
Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải bài toán trên như sau:
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3 = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
c.Bài tập;
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; b) x4 − 7x3 + 14x2 − 7x + 1 ;
c) x4 − 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2.
3.2.2.6 Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riênga. Phương pháp: a. Phương pháp:
Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại.
b. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
Nên thay x bằng y thì P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0
Như vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P chứa (x – y) thì cũng chứa (y – z) và (z – x).
Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x)
Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z
Ta có:
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với ∀ x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng. ví dụ x = 1, y = 0, z = -1
Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2) 2 = - 2k => k = - 1
Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Thật vậy: ta có x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chương III : Thực nghiệm sư phạm