Phương trình dao động của dây.
Xét một sợi dây có chiều cố định ở hai đầu mút. Khi ở trạng thái tĩnh, dây có dạng
đƣờng thẳng. Ta chọn đƣờng thẳng này làm trục Ox và xem các đầu dây trùng với các
điểm x=0 và x= . Mỗi điểm của sợi dây có thể biểu thị bằng hoành độ x. Ta mô tả quá
trình dao động của dây theo vị trí của mỗi điểm đã cho của sợi dây tại các thời điểm khác nhau, bằng cách đƣa véctơ dịch chuyển của sợi dây tại vị trí x và tại thời điểm t có dạng
⃗
Để đơn giản, ta giả sử quá trình dao động của sợi dây chỉ nằm trong mặt phẳng (u,x) và
vectơ dịch chuyển ⃗ vuông góc với trục Ox tại thời điểm bất kì. Nhƣ vậy, việc mô tả quá
trình dao động chỉ cần một hàm u(x;t) đặc trƣng cho độ dịch chuyển vuông góc với sợi dây.
x
Hình 1: Dao động của dây
Xét sợi dây nhƣ sợi chỉđàn hồi dễ uốn.
- Sức căng dây t tại mỗi điểm không phụ thuộc thời gian. Thật vậy, độ lớn của sức
căng xuất hiện trong dây do đàn hồi có thể đƣợc tính theo định luật Hooke. Xét
37
dụng điều kiện này, ta tính đƣợc độ dài đƣờng cong của sợi dây khi dao động trên
đoạn [ ]
∫ √
Nhƣ vậy, trong giới hạn của bài toán lí tƣởng này, ta có thểcoi độ dài của sợi dây không
đổi khi dao động. Do đó, theo định luật Hooke, độ lớn sức căng t tại mỗi điểm không
thay đổi theo thời gian.
- Sức căng T tại mỗi điểm không phụ thuộc vào toạđộ x, tức là
Thật vậy, hình chiếu sức căng T trên trục Ox và Ou kí hiệu là Tx và Tu.
√
trong đó là góc giữa tiếp tuyến với đƣờng cong u(x,t) và trục Ox.
Trên đoạn [ ] của sợi dây có ba lực tác động.
Lực căng hƣớng theo tiếp tuyến với sợi dây tại A và B;
Ngoại lực vuông góc với Ox vì dây dao động ngang;
Lực quán tính vuông góc với Ox vì dây dao động ngang.
Ta sử dụng nguyên lí D’Alembert: Trong chuyển động của đoạn dây, tổng các lực tác
động vào đoạn dây đó bằng 0.
Ta chiếu tất cả các lực lên trục Ox sẽ nhận đƣợc
Do tính tuỳ ý của đoạn [ ] suy ra sức căng không phụ thuộc x
Để thuận tiện, ta đƣa vào một số kí hiệu
38
mật độ khối lƣợng chiều dài của dây T=T(x): sức căng của dây
w=w(x): ngoại lực tính trên một đơn vịđộ dài.
gia tốc dao động ngang của sợi dây.
: hệ số tắt dần tuyến tính, với giả thiết lực tắt dần tỉ lệ với vận tốc dao động của sợi dây.
Xét đoạn dây với mật độ tính trên đơn vị độ dài nằm trong khoảng giữa x và x. Trên
hình, các đạo hàm
là độ dốc của tiếp tuyến với đƣờng cong ở các đầu mút x, tức là
Lực bên ngoài tác dụng lên đoạn [ ] bao gồm: ngoại lực w. và lực làm sóng yếu đi
(lực tắt dần) trong đó lực tắt dần tỉ lệ với vận tốc dao động của dây và bỏ qua trọng lực. Mọi chuyển động hầu hết theo phƣơng thẳng đứng, do đó sức căng theo phƣơng chuyển động ngang trong trạng thái cân bằng và nhƣ nhau tại mọi điểm
Áp dụng định luật Newton theo phƣơng thẳng đứng của dao động, tức là khối lƣợng nhân với gia tốc bằng tổng hợp lực tác dụng lên dây theo phƣơng thẳng đứng
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Chia hai vế cho rồi lấy giới hạn khi và chú ý rằng
39 ta thu đƣợc phƣơng trình dao động của dây
( ) 48)
Trƣờng hợp 1: mật độ và sức căng T=To là hằng số với
Đặt ta thu đƣợc phƣơng trình sóng 1 chiều.
Trƣờng hợp 2: mật độ và sức căng T=To là hằng số với
Đặt ta thu đƣợc phƣơng trình điện báo
Trƣờng hợp 3: mật độ và sức căng T= To là hằng số với g, trong đó g là
gia tốc trọng trƣờng.
Đặt ta thu đƣợc phƣơng trình dao động của dây dƣới tác dụng của trọng lực
Trƣờng hợp 4: mật độ và sức căng T phụ thuộc vào toạ độ
ta thu đƣợc: ( )
Cácđiều kiện biên và điều kiện ban đầu cho phương trình dao động của dây.
Để tìm nghiệm dƣới dạng tƣờng minh, cần phải có các điều kiện biên cho phƣơng trình dao động. Các dạng điều kiện biên cho phƣơng trình dao động của dây thƣờng có dạng sau.
1) Điều kiện biên Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng
40
2) Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm của các đầu dây có dạng
3) Điều kiện biên Robin: Còn đƣợc gọi là điều kiện biên hỗn hợp, là tổ hợp tuyến tính của hai điều kiện biên trên. Khi đó độ dịch chuyển và độ dốc của các đầu dây có dạng ( )| ( )| trong đó
grad ⃗ ⃗ là vectơ pháp tuyến đơn vị.
Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu và vận tốc ban
đầu.
Bài toán thứ nhất
Ta xét bài toán dao động tự do của dây rung với hai đầu mút cốđịnh, tức là tìm nghiệm u của phƣơng trình:
thoảmãn các điều kiện biên và điều kiện đầu nhƣ sau
trong đó f và g là các hàm liên tục trên [ ] triệt tiêu khi x=0 và x=
Bài toán đã đƣợc chứng minh có nghiệm duy nhất trong lí thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng.Ở đây ta dùng phƣơng pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm. Trƣớc hết ta tìm nghiệm riêng u không đồng nhất 0, có dạng tách biến:
41
Thay dạng này vào (2.53), ta thu đƣợc:
Suy ra
Vế phải phụ thuộc t,vế trái phụ thuộc x, nghĩa là cho dù các biến sốcó thay đổi, nhƣng tỉ
số luôn luôn bằng nhau. Đẳng thức chỉ có thể thoả mãn nếu bằng một hằng sốđƣợc chọn là với là hằng số. Nhƣ vậy
Ta nhận đƣợc hai phƣơng trình vi phân
Các điều kiện biên (2.54) cho ta:
}
Đểđiều kiện đầu đƣợc thoả mãn thì
Giải bài toán đơn giản nhất về trị riêng: Tìm giá trị của tham số đểphƣơng trình
có nghiệm không tầm thƣờng.
Lý thuyết phƣơng trình vi phân cho thấy để (2.60) có nghiệm không tầm thƣờng thì phải dƣơng. Khi đó, nghiệm của bài toán (2.60) có dạng:
√ √ (C1, C2 là hằng số)
42 Suy ra phƣơng trình tìm trị riêng:
√ √
Do đó bài toán chỉ có nghiệm không tầm thƣờng khi giá trị riêng.
( )
Tƣơng ứng ta có các hàm riêng:
Với trị riêng đã cho, nghiệm của phƣơng trình (2.58) theo biến t có dạng:
trong đó An, Bn là các hằng số tuỳ ý. Suy ra nghiệm riêng (2.56) có dạng
( )
Ta sẽtìm đƣợc nghiệm tổng quát u dƣới dạng chuỗi sau:
∑ ( )
Khi đó điều kiện ban đầu (2.55) xác định cho ta các hệ số tuỳ ý An, Bn. Ta có:
∑
(n=1,2…) (2.66)
∑ Bằng cách khai triển f và g theo chuỗi sin ta đƣợc ;
∫ (n=1,2…)
43 ∫ (n=1,2,…)
Vậy nghiệm của bài toán đƣợc cho bởi (2.65) với các hệ số An, Bn nhƣ trên.
Bài toán thứ hai
Ta xét bài toán tìm nghiệm u của phƣơng trình biểu diễn dao động của một sợi dây dài
có hai đầu mút cốđịnh, hình dạng ban đầu của sợi dây là một tam giác có độ cao bằng h,
chân đƣờng cao tại , vận tốc ban đầu bằng không
Phƣơng trình dao động của dây là
Thoảmãn các điều kiện biên và điều kiện ban đầu nhƣ sau
{
Bài toán đã đƣợc chứng minh có nghiệm duy nhất trong lý thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng. Ở đây ta dùng phƣơng pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm. Trƣớc hết ta tìm nghiệm riêng u không đồng nhất 0, có dạng tách biến
Ta có
Suy ra
Vế phải phụ thuộc t, vế trái phụ thuộc x, nghĩa là cho dù các biến sốcó thay đổi, nhƣng tỉ
số luôn luôn bằng nhau. Đẳng thức chỉ có thể thoả mãn nếu bằng một hằng sốđƣợc chọn là - với là hằng số. Nhƣ vậy
44
Ta nhận đƣợc hai phƣơng trình vi phân
Các điều kiện biên (2.69) cho ta
}
Đểđiều kiện đầu đƣợc thoả mãn thì
Giải bài toán đơn giản nhất về trị riêng: Tìm giá trị của tham số đểphƣơng trình
Có nghiệm không tầm thƣờng.
Lý thuyết phƣơng trình vi phân cho thấy để (2.75) có nghiệm không tầm thƣờng thì phải dƣơng. Khi đó ta có
√ √
√ Suy ra phƣơng trình tìm trị riêng
√ √
Do đó bài toán chỉ có nghiệm không tầm thƣờng khi giá trị riêng
( )
Tƣơng ứng ta có các hàm riêng
(C1, C2 là các hằng số)
45
Với trị riêng đã cho nghiệm của phƣơng trình (2.73) theo biến t có dạng
trong đó An, Bn là các hằng số tuỳ ý. Suy ra nghiệm riêng (2.71) có dạng
( )
Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát u dƣới dạng chuỗi sau:
∑ ( )
Khi đó điều kiện (2.70) xác định cho ta các hệ số tuỳ ý An, Bn. Ta có
∑
∑
Bằng cách khai triển f và g theo chuỗi sin ta đƣợc
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (n=1,2,..) (2.82)
46
∫
Vậy nghiệm của bài toán đƣợc cho bởi (2.81) với các hệ số An, Bn nhƣ trên
Bài toán thứ ba
Ta xét bài toán tìm nghiệm u của phƣơng trình biểu diễn dao động cƣỡng bức của sợi dây
có hai đầu mút cốđịnh.
Thoảmãn các điều kiện biên và điều kiện đầu nhƣ sau
Bài toán đã đƣợc chứng minh có nghiệm duy nhất trong lý thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng. Ở đây ta dùng công cụ chuỗi Fourier để giải nghiệm bài toán. Ta khai triển hàm f(x,t)=x(x-1) thành chuỗi sin
∑
Tích phân từng phần trong công thức hệ số Fourier bk(t), ta có
∫ ∫
[ ]
{
47 ∑ ∑ Thay (2.86) vào (2.83) ta đƣợc ∑[ ]
Nhân hai vế của đẳng thức trên với ta đƣợc:
∑[ ]
Lấy tích phân theo x, ta đƣợc
Thay bkvào phƣơng trình vi phân ởtrên ta đƣợc
[ ] Sử dụng các điều kiện đầu (2.85) ta có ∑ và ∑ Ta suy ra
Theo lý thuyết phƣơng trình vi phân, ta có nghiệm duy nhất của (2.87) là
48
và nghiệm tổng quát của (2.88) là
Đối chiếu với điều kiện (2.89), ta suy ra
Vậy
∑
