Ngoài ứng dụng trong hai bài toán vật lý, phép biến đổi Fourier còn đặc biệt đƣợc sử
dụng trong việc giải phƣơng trình vi phân và thiết kế thiết bị xử lý tín hiệu. Trong phần này sẽ giới thiệu một sốứng dụng thƣờng gặp của biến đổi Fourier.
2.2.1: Tích chập và biến đổi Fourier
Ta định nghĩa tích chập của hai hàm và nhƣ sau:
∫ Ta có: ∫ ∫ và vì thế
Tích chập là một giao hoán và là hàm của chính nó. Tích là một đồ thị không phải là số.
Tính toán tích chập của hai hàm từ định nghĩa đƣợc đƣa ra một cách đơn giản, hợp lý.
Đầu tiên ta xem xét tất cả các khía cạnh của tích phân trình bày nhƣ một tích, tích chập
liên quan đến khu vực đƣờng cong dƣới. Tuy nhiên, t là biến tự do, vì thế, trong hầu hết
49
phân có liên quan tới , không liên quan tới , chỉ cần hiểu đồ thị của và
đƣợc giải thích qua hàm của nhƣ thế nào.
Đồ thị biểu diễn hàm là đơn giản - giống với đồ thị của ngoại trừ trục ngang là . Tuy nhiên bởi dấu trừ, không đơn giản là một bản chuyển của Hơn thế,
biểu thị đầu tiên đƣợc dịch chuyển sao cho gốc tại , nhƣng sau đó với hình dạng đƣờng cong gốc bị đảo ngƣợc ta sẽ thấy nhƣ thời gian bị chạy ngƣợc trở lại. Tích chập của và sau đó trở thành vùng phía dƣới đƣờng cong đảo ngƣợc và
đƣờng cong của
Hình 2: Quan hệ của hàm và hàm
Tính toán tích chập đòi hỏi một cấu trúc chung hợp lý phù hợp với hình ảnh. Ta đƣa ra
trình tựcác bƣớc dƣới đây
1. Vẽ và là hàm của .
2. Đảo ngƣợc đồ thị của để có . Thay đổi đƣờng cong này một lƣợng tuỳ
ý và gắn một điểm trên đƣờng cong đảo ngƣợc tƣơng ứng với gốc là , lúc đó ta có đồ thị của
3. Đặt đồ thị của ở trên đồ thị điểm đƣợc gắn là ở vị trí gần
trên đồ thị của
4. Trƣợt từ từđồ thị về bên phải. Ở bất kỳđiểm nào, tại vùng phía dƣới đồ
thị kết hợp của hai đồ thị là tích chập cho giá trị của
Ví dụ:
{ {
50
Chú ý, ta áp dụng bƣớc thứ hai, ta có thể coi sự nghịch đảo số mũ là cạnh đầu tại . Vì thế, ban đầu (khi hàm không có giá trị nào trùng với xung vuông, và có giá trị
là 0(trƣờng hợp I). Cạnh đầu của sự nghịch đảo sốmũ dịch chuyển thêm về bên phải, và bắt đầu giao với xung, ta có một tích phân khác giữa gốc và điểm (trƣờng hợp II). Cuối cùng, cạnh đầu của sự nghịch đảo số mũ sẽ di chuyển đến bên phải của cạnh đầu của xung và ởđây sẽ có chỉ tích phân giữa điểm gốc và (trƣờng hợp III). Tính toán, ta có thể trình bày ba trƣờng hợp nhƣ sau. Trƣờng hợp I: Trƣờng hợp II: ∫ | Trƣờng hợp III: 1 ∫ | Cuối cùng, ta kết hợp ba trƣờng hợp lại một đồ thịđơn thể hiện tích chập của hai hàm. Ta xét sự liên quan giữa biến đổi Fourier của một tích chập với biến đổi Fourier của hai hàm riêng thành phần.Ta bắt đầu bằng giả thiết rằng cả và đều có sự biến đổi, ta chứng tỏ các hàm này tƣơng ứng với và . Sau đó, ta viết đƣợc định nghĩa
cho biến đổi của tích chập của chúng
[ ] ∫ 2∫
3
Với tích phân hai lớp lúc này, ta có thểđổi thứ tự tích phân của chúng và viết
[ ] ∫ 2∫
3
Tích phân này ta có thể đƣa ra ngoài do không phụ thuộc vào biến Ta thu
đƣợc:
[ ] ∫ 2∫
3
51
Hình 3: Đồ thị mô tả một tích chập
Bây giờ, bằng định nghĩa, phần còn lại trong tích phân chỉ cần biến đổi Fourier với của
[ ] ∫ [ ]
Vì thế, bằng việc chuyển đổi giá trị của biến đổi ta có thể thay thế [ ] bằng
[ ] ∫
Tuy nhiên, trong công thức, không phụ thuộc vào và vì thế ta có thểđƣa ra khỏi dấu tích phân.
[ ] ∫
52
Hình 4: Đồ thị quan hệ g(t)*h(t).
Khi ta thực hiện tính toán, phần tích phân còn lại là tích phân của , và biến đổi trở
thành
[ ]
Nói cách khác, một tích chập trong miền thời gian tƣơng ứng với phép nhân của các biến
đổi trong miền tần số. Kết quảnày thƣờng đƣợc gọi là định lý tích chập.
Để chứng minh định lý tích chập, xét ví dụdƣới đây:
2 dễ thấy rằng { 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -0,2 1 2 3 4 5 6 -1 g(t)*h(t)
53
Hình 5: Đồ thị của một tích chập.
Từ kết quả tích chập ta có thể tính toán biến đổi Fourier trực tiếp nhƣ sau:
[ ] ∫ [ ] |
Kết quả này trùng khớp điều mà định lý tích chập dự đoán. (chú ý sử dụng công thức
lƣợng giác 1 1 3 1 1 -3 3 h(t) t -3 3 h(𝜏) 𝜏 3 3 h(t-𝜏) h(t-𝜏) 𝜏 𝜏 3 h(t-𝜏) 𝜏 3 h(t-𝜏) 𝜏 -3 h(t-𝜏) 𝜏 -3 3 h(𝜏) 𝜏
54
Vì thế, theo cách khác, ta có thểnói định lý tích chập giống nhƣ bất kỳ phép biến đổi nào khác, ta không thểcó đƣợc bằng cách tính toán trực tiếp. Nếu tất cả mà ta cần là [ ], sử dụng định lý tích chập có thể giúp ta giảm bớt đáng kể các tính toán. Ta có thể thấy rằng biến đổi Fourier của tích chập có dạng: [ ] ∫ 2.2.2: Tuyến tính, tính bất biến
Một công dụng chính của biến đổi Fourier trong phân tích đƣợc gọi là tính tuyến tính, và tính bất biến (cũng đƣợc gọi là bộ lọc, dùng trong xử lý tín hiệu). Những tính chất này là
đòi hỏi cơ bản cho nhiều thiết kế kỹ thuật.
Khi nói về một hệ, ta nghĩ đến toán học hoặc một quá trình vật lý bất kỳ mà có thể mô tả
bản chất bằng quan hệ đầu vào/đầu ra. Nói cách khác, một hệ thực bất kỳ về cơ bản có thểđƣợc mô tả bằng mô hình hộp đen.
[ ]
Hệ nhƣ vậy thƣờng đƣợc mô tả bằng phƣơng trình vi phân. Ví dụ về hệ xác định bằng
phƣơng trình vi phân thông thƣờng
và
[ ]
Hệ có thể tuyến tính hoặc không tuyến tính. Một hệ tuyến tính tuân theo nguyên tắc chồng chất, trong đó đầu ra của hệ thống là tổng của các đầu vào tƣơng ứng. Trong mô hình hộp đen, một hệ tuyến tính hoạt động nhƣ sau
Nếu
và
S[⬚]
S[⬚]
55
sau đó
Tại đầu vào và tuỳ ý và là số tuỳ ý.
Cuối cùng, hệ là bất biến nếu trì hoãn đầu vào bằng nột lƣợng tuỳ ý tạo ra phản hồi giống với đầu vào khi chƣa giải phóng, ngoại trừ phản hồi bị trì hoãn bởi một lƣợng tƣơng tự nhƣ đầu vào hoặc trong mô hình hộp đen
Nếu
Sau đó
Liên hệ với trƣớc đó, ta có thể nhận ra rằng, tính tuyến tính và tính bất biến là độc lập. Ví dụ, một hệ có thể tuyến tính nhƣng không là bất biến
(
hoặc tuyến tính hoặc bất biến (
ta không ngạc nhiên với phát hiện rằng khi tuyến tính, tính bất biến đƣợc trình bày theo dạng phƣơng trình vi phân, phƣơng trình sẽ tuyến tính và có hệ sốkhông đổi.
Hầu hết các thiết kế kỹ thuật, ít nhất ở đầu vào, dựa vào tính tuyến tính, tính bất biến.. Tính tuyến tính, tính bất biến là cơ bản cho các ứng dụng thực.
Ta có thể thấy rằng một hệ là tuyến tính và bất biến nếu và chỉ nếu đầu ra của nó là tích chập của những đầu vào khác hoặc hệ hàm riêng,… ví dụ, trong mô hình hộp đen, tính
tuyến tính, tính biến phải tuân theo quan hệ
[ ] ∫
Trong đó là những hàm phụ thuộc hoàn toàn vào hệ cụ thểđƣợc xem xét, và không dựa vào
Thấy rằng hệmà đầu ra là tích chập tuyến tính và chuyển đổi độc lập là cực kỳđơn giản. Tính tuyến tính thể hiện ngay từ những nguyên tắc tính toán cơ bản, nhƣ tích phân của tổng là tổng của các tích phân. Cho thấy tích chập cũng có tính bất biến và đòi hỏi chỉ
một thay đổi đơn giản của biến trong tích phân Ví dụ:
S[⬚]
S[⬚]
S[⬚]
56
∫
∫ [ ]
Ở đây ta đổi giữa tích phân thứ nhất và tích phân thứ hai bằng việc thay thế trong tích phân thứ nhất bởi
Ta bắt đầu bằng việc xem xét những khoảng thời gian tuỳ ý, từ đến . Tiếp đó ta chia khoảng thời gian thành những khoảng nhỏ có độ dài bằng nhau, biểu thị cho điểm cuối mỗi khoảng là với và Ta cũng để
Bởi tính tuyến tính, thu đƣợc hàm và bất kỳ, hệ phải tuân theo
∑ ∑ [ ]
Ở đây, [ ] biểu thị đầu ra của hệ với đầu vào (đầu ra phải có dạng nhƣ vậy vì là giá trị không đổi. Vì thế chỉ là số. Do hệ là tuyến tính, đầu ra chỉ có thể là tổng của các phản hồi riêng). Tuy nhiên, cả đầu ra và đầu vào đều chính xác dƣới dạng của tổng Riemann xấp xỉđến một tích phân xác định. Ta đặt ra rằng mối quan hệ đầu ra/ đầu vào của hệ phải trở thành
∫ ∫ [ ]
Trong trƣờng hợp đặc biệt và , ta cần viết chính xác
∫ ∫ [ ]
Giả sử rằng là tuỳ ý, chú ý đến một trƣờng hợp đặc biệt là một xung. Ví dụ,
trong trƣờng hợp, mối quan hệđầu vào/ đầu ra của hộp đen có thể đƣợc viết
∫ ∫ [ ] Hoặc dùng biến đổi của hàm delta ∫ [ ] Nhƣngta cũng có thể giả thiết rằng hệ là bất biến ví dụ, nếu [ ] S[⬚] S[⬚] S[⬚] S[⬚] S[⬚]
57 hoặc tƣơng tự, nếu Sau đó, bởi tính bất biến, [ ] Vì thế, ta thấy rằng, với một hệ tuyến tính tuỳ ý, hệ bất biến ∫
Do là một xung, nhƣ định nghĩa ởtrên đƣợc gọi là xung phản hồi của hệ.
Vì thế ta có thể trình bày, hệ bất biến bất kỳ là tích chập của đầu vào với xung phản hồi của hệ.
Kết quả cuối cùng này thể hiện tính chất cơ bản của hệ tuyến tính, hệ bất biến trong miền thời gian. Nhƣng nhƣ ta thấy trƣớc đó, một trong những ý nghĩa chính của phân tích Fourier là sự tồn tại đồng thời của cả miền thời gian và miền tần số. Vì thế, để hoàn chỉnh, ta cũng nên giải thích mối quan hệ đầu vào/ đầu ra của hệ tuyến tính, hệ bất biến trong miền tần số. Định lý tích chập cho ta biết, trong biến đổi
đơn giản biểu thị biến đổi Fourier của xung phản hồi của hệ. Ví dụ
∫
Biến đổi này cũng đƣợc gọi chung là hàm chuyển hoặc tần số phản hồi của hệ.
Trên thực tế, đầu ra của một hệ tuyến tính, hệ bất biến là sản phẩm trong miền tần số và có giá trị lớn. Phân tích phản hồi đầu ra của những hệ thống tổng quát trong miền thời
gian đòi hỏi tính toán tích chập .Ngƣợc lại, nhƣ một hệ quả của định lý tích chập, phân tích tính chất chung của hệ trong miền tần sốđơn giản chỉ cần nhân hai đƣờng cong với nhau.
Việc sử dụng miền tần số hoặc công thức của hàm chuyển cũng có thể đơn giản hoá rất nhiều việc phân tích và xây dựng các hệ thống phức tạp, bằng cách cho phép tiếp cận mô
đun, xây dựng khối. Đặc biệt, giả sử hệ gồm hai hệ con nối tiếp là và . Từng hệ
thống này sẽ có xung phản hồi và hàm chuyển của chúng. Ví dụ, sẽ là hàm chuyển của hệ con Trong miền tần số, biểu đồ đầu vào/ đầu ra với hệ thống này trở thành (hình 6)
S[⬚]
S[⬚]
58
Biểu đồ này cho thấy rõ rằng kết quảđầu ra sẽ giống nhƣ từ một hệ đơn có hàm chuyển là Điều đó có nghĩa là ta có thể thay thế bất kỳ hệđơn lẻ phức tạp nào bằng hệđƣợc tạo thành từ các thành phần đơn giản hơn cho kết quả của hàm chuyển giống nhƣ
kết quả của hệ phức tạp.
Nhƣ ởtrƣớc đã chỉ ra, xung phản hồi và hàm chuyển của hệ là then cốt để mô tả tính chất của một hệ và cho thiết kế hệ thống để hoạt động theo những cách nhất định (tất nhiên, xung phản hồi và hàm chuyển là một biến đổi Fourier kép)
Xung phản hồi trong miền thời gian
Hàm chuyển trong miền tần số Hệ phản hồi trong miền thời gian ∫ Hệ phản hồi trong miền tần số Hình 6: Đồ thị miêu tảđầu ra 2.2.3: Xác định xung phản hồi và hàm chuyển của một hệ thống
Xác định xung phản hồi và hàm chuyển là phần chủ yếu của thiết kế và phân tích hệ
thống. Vì thế bây giờta xem xét cách tìm lƣu ý đặc biệt về những kỹ thuật áp dụng không chỉ cho mô hình hệ thống mà còn trong thực tế.
S[⬚] f S[⬚] S[⬚] S[⬚] S[⬚] S[⬚] 1 𝑓 𝑓 f 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 X(f) X(f)
59
Theo lý thuyết, việc tìm xung phản hồi của hệ thống khá đơn giản. Xung phản hồi theo
định nghĩa,là kết quả hoạt động của hệ thống từ một xung lực tại Ta cần thay thế
hàm cƣớng bức trong hệ phƣơng trình vi phân bởi không bỏ bất kỳ điều kiện đầu
nào và sau đó giải. Với ví dụ, xét mạch RC ở hình 7. Ở thời điểm bất kỳ, tụ tích điện
và có điện áp ngoài hiệu dụng
Hình 7: Một mạch RC mẫu
Vì thế, nếu ta lấy đầu vào nhƣ điện áp ngoài hiệu dụng và đầu ra nhƣ điện áp đƣợc đo qua
tụđiện, ta có thể biểu thị cho hệ này bằng hộp đen
Điện tích trên tụđiện đƣợc sinh ra bởi một đơn vịđiện áp xung tại , nên ta có
Hệ sốkhông đổi và những điều kiện chung bắt buộc tuân theo giải bởi biến đổi Laplace. Trong ví dụ này, lấy biến đổi của cả hai bên dẫn đến
( ) [ ] hoặc [ ] [ ] {
Chuyển đổi điện tích thành điện áp trên trên tụ điện thấy rằng, bằng định nghĩa, xung
phản hồi của mạch này là
60
{
Với xung phản hồi cho sẵn, ta có thể tìm đƣợc hàm chuyển của hệ thống bởi phép biến
đổi Fourier . Ta có thể tìm biến đổi Fourier của hàm, bằng việc thay thế đơn giản biến trong biến đổi Laplace bằng số hạng Fourier ,
Hình 8: Một ví dụ xung phản hồi và hàm chuyển
Ta có thểxác định hàm chuyển bằng biến đổi Fourier phƣơng trình vi phân. Công thức
( )
Bởi tính tuyến tính của biến đổi, ta có thểchia cho C để có biến đổi điện áp đầu ra. Công thức giống với ta đã tìm ở trên. Cuối cùng nghịch đảo biến đổi Fourier của hàm chuyển này sẽ tạo ra xung phản hồi,
h(t) f |𝐻 𝑓 | f Θ𝐻 𝑓 f RC 2RC -1/RC 1/RC -1/RC 1/RC 𝜋/ -𝜋/
61
Theo lý thuyết, cách tiếp cận làm cho hệ trở thành một xung là trực tiếp, đơn giản và dễ
dàng áp dụng cho bất kỳ hệ thống nào đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân hệ số không
đổi thông thƣờng. Tuy nhiên, biến một hệ thực thành xung có thể không phải là ý tƣởng hay. Xung thực không dễ tạo thành- nó không thể thực sự tức thời, cần thời gian vô cùng ngắn cho một xung thực gần đúng. Hơn nữa, bởi thời gian ngắn, xung thực cũng cần có
biên độ rất lớn. Nhƣng, biên độ lớn, thậm chí khi thời gian ngắn có thể dễhƣ hại hệ thống thực- đặc biệt nếu đƣợc liên kết với các thiết bị điện tử nhạy cảm. Vì thế, nhiều phƣơng
pháp kiểm tra ít hƣ hại hơn nhƣ xung tải dễ áp dụng hơn cho hệ thống thực.
Một trong những hàm cƣỡng bức đơn giản nhất để tạo ra và ít hƣ hại hơn là đƣờng hình
sin đơn giản, ví dụ, mạch AC.
Để tìm hiểu, ta lựa chọn hàm cƣỡng bức có số mũ phức tạp với là tần số cố