c) Công thức Bayes
1.4.2. Xác suất k lần thành công
Trong quá trình Bernoulli B n p( ; ), đặt Ai: “Phép thử thứ i thành công”, 1, 2,...,
i= n, đặt Bk: “Có k lần thành công trong toàn bộ quá trình”, k=0,1, 2,...,n. Ký hiệu, P kn( )=P B( k). Ta có:
1 2... 1 2... 1 2... 1 2... .... 1 2... 1 2...
k k k k n k k k n k k k n
B =A A A A A+ + A +A A A A A+ + A + +A A A A A+ + A
Mỗi số hạng là tích của n biến cố độc lập trong đó có k biến cố “Thành công” Ai và n k− biến cố thất bại Aj. Số các số hạng của dãy là số k
n
C các tổ hợp chập k của n phần tử. Đó chính là cách sắp xếp k biến cố “Thành công” vào trong
n vị trí trong quá trình. Ta có P A( )i =p và P A( )j = −1 p=q. Do đó, ( ) k k(1 )n k, 0,1, 2,...
k n
P B =C p −p − k = n
Như vậy, trong quá trình Bernoulli B n p( ; ) xác suất có k lần thành công là:
( ) k k(1 )n k, 0,1, 2,...
n n
P k =C p −p − k= n(1.2)
Ví dụ 1.46. Đem ấp 5 trứng gà, biết rằng xác suất để một trứng được ấp nở ra gà con là 0,8. Tính xác suất để trong 5 trứng đem ấp có 3 trứng nở ra gà con.
Giải
Ta có quá trình Bernoulli B n p( ; ), n=5; p=0,8. Xác suất có 3 trứng nở ra gà con là:
( ) 3 3 2
5 3 5.0,8 .0, 2 0, 2048
P =C =
Ví dụ 1.47. Tỉ lệ hoa vàng đồng hợp tử gen AA, hoa vàng dị hợp tử gen Aa và hoa trắng gen aa là 1:2:1. Chọn ngẫu nhiên 10 hạt đậu đem gieo:
a) Tính xác suất có 4 cây đậu hoa trắng. b) Tính xác suất có 5 cây đậu hoa vàng.
Giải
a) Tỉ lệ đậu hoa trắng là 1 1 0, 25 4
p = = . Gieo 10 hạt, ta có quá trình Bernoulli ( ; 1)
B n p . Xác suất có đúng 4 cây đậu hoa trắng là:
( ) 4 4 6 10 4 10.0, 25 .0, 75 0,1460 P =C = b) Tỉ lệ đậu hoa vàng: 2 3 0, 75 4 p = = . Ta có quá trình Bernoulli B n p( ; 2). Xác suất có 5 cây đậu hoa vàng:
( ) 5 5 5
10 5 10.0, 75 .0, 25 0, 0584
P =C =
Ví dụ 1.48. Một lô hàng gồm rất nhiều bóng đèn, trong đó có 6% bóng đèn xấu. Một người đến mua hàng với qui định: Chọn ngẫu nhiên 10 bóng đèn đem kiểm tra và nếu có nhiều hơn một bóng đèn xấu thì không nhận lô hàng. Tính xác suất để lô hàng được chấp nhận.
Giải
Kiểm ta 10 bóng đèn ta có quá trình Bernoulli B n p( ; ) với n=10;p=0, 06. Đặt A: “Lô hàng được chấp nhận”, A xảy ra khi số bóng xấu không quá 1. Do đó xác suất lô hàng được chấp nhận là:
( ) ( ) ( ) ( )10 1 ( )9
10 0 10 1 1 10. 1 0,8824
P A =P +P = −p +C p −p = .
Ví dụ 1.49. Một lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 5%. Người mua hàng đề nghị lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra, và nếu có quá m phế phẩm thì không nhận lô hàng. Bạn đề nghị m bằng bao nhiêu để vừa thuyết phục được người nhận, vừa hy vọng khả năng lô hàng không bị từ chối ít nhất là 95%?
Giải
Tỉ lệ phế phẩm là p=0, 05
Việc lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra nghĩa là thực hiện 10 phép thử Bernoulli với xác suất thành công (gặp phế phẩm) p=0, 05.
Ta được, ( ) 10
10 10k.0, 05 .0,95k k
Xác suất lô hàng được nhận là:
( ) ( ) ( )
10 0 10 1 ... 10
P +P + +P m
Theo đề bài ta tìm m bé nhất sao cho
( ) ( ) ( ) 10 0 10 1 ... 10 0,95 P +P + +P m ≥ Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 10 10 0,9139=P 0 +P 1 <0,95<P 0 +P 1 +P 2 =0,9885 nên theo yêu cầu bài toán m=2.