c) Công thức Bayes
1.4.4. Xác suất có ít nhất một lần thành công
Xét quá trình Bernoulli B n p( ; ), xác suất không có lần thành công nào: ( ) (0 1 )n n P = −p Do đó, xác suất có ít nhất một lần thành công: 1 ( )0 1 1( )n n P p − = − − (1.4)
Ví dụ 1.51. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ hạt lép là 3% để nghiên cứu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95%?.
Giải
Gọi n là số hạt phải lấy, chúng ta có B(n; 0,03). Xác suất để có ít nhất một hạt lép là 1 − (1 − 0,03)n = 1 − (0,97)n .
1 0,97n 0,95 − ≥ 0,97n 0, 05 ⇔ ≤ 0,97 log 0, 05 98,3523 n ⇔ ≥ =
Vậy, phải lấy ít nhất 99 hạt giống.
Ví dụ 1.52. Người ta kiểm tra chất lượng một lô hàng bằng cách lấy từ sản phẩm kiểm tra. Biết rằng lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 5%.
a) Hỏi phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm không bé hơn 90% ?
b) Giả sử việc kiểm tra sẽ dừng lại khi phát hiện 3 phế phẩm. Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần thứ 10.
Giải
a) Xem mỗi lần kiểm tra là một phép thử, xác suất gặp phế phẩm trong mỗi phép thử là p=0, 05. Ta có quá trình Bernoulli B n p( ; ) với n chưa biết, p=0, 05.
Xác suất có ít nhất một phế phẩm là: 1 1( )n 1 0,95n p
− − = −
Theo đề bài ta có: 1 0,95n 0,9 0,95n 0,1 log0,950,1 44,89 n
− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≥ = .
Suy ra n=45. Vậy phải kiểm tra ít nhất 45 sản phẩm.
b) Giả sử việc kiểm tra sẽ dừng lại khi phát hiện 3 phế phẩm. Xét các biến cố A: “Việc kiểm tra dừng ở lần thứ 10”; B: “Trong 9 lần kiểm tra đầu có 2 phế phẩm”, A10: “lần kiểm tra thứ 10 gặp phế phẩm”. Ta có A=BA10, B A, 10 độc lập nhau. Ngoài ra, B chính là biến cố có hai lần thành công trong quá trình Bernoulli
(9;0, 05)
B , ( ) ( ) 2 2 7
9 2 9.0,05 .0,95 0,0629
P B =P =C = . Còn P A( 10)=0, 05. Do đó, xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần thứ 10 là:
( ) ( ) ( 10) 0, 0629.0, 05 0,0031