Định nghĩa : Giả sử G là một nhóm cyclic hữu hạn có cấp n. Gọi là phần tử sinh của G và là một phần tử cũng thuộc G. Khi đó Lô-ga-rít rời rạc của
theo cơ sở trên G, được ký hiệu là log, là một số nguyên duy nhất x với 0 x n - 1 sao cho = x.
Trên mọi cấu trúc nhóm cyclic nếu biết trước và x mà cần tính = x thì đây là một việc dễ và được thực hiện trong thời gian đa thức. Ngược lại biết
, mà tính x thì đây là một việc nói chung là khó và được thực hiện trong thời gian hàm mũ.
Độ khó của bài toán Lô-ga-rít cũng phụ thuộc vào cấu trúc đại số mà trên đó nó được xác định.
Giả sử P là một điểm có bậc hữu hạn trên đường cong elliptic, khi đó tập <kP: kZ> với phép công điểm là nhóm cyclic với P là phần tử sinh. Người ta chứng minh được rằng, nếu số điểm trên đường cong elliptic là số nguyên tố N thì mọi điểm P trên nó đều là phần tử sinh của nó, nghĩa là P có bậc N.
Bài toán lô-ga-rít rời rạc trên đường cong Elliptic (ECDLP)
Cho trước một đường cong Elliptic E xác định trên trường hữu hạn GF(q). Giả sử P là một điểm có bậc n và Q là một điểm của E. Hãy xác định số nguyên k, 0 k n - 1 sao cho Q = kP nếu số nguyên k như vậy tồn tại.
Còn hai bài toán liên quan nữa là bài toán Diffie-Hellman Elliptic ( ECDHP) và bài toán quyết định Diffie-Hellman Elliptic (ECDDHP).
Bài toán ECDHP:
Cho trước các điểm P, aP và bP của E trên GF(q). Hãy tính abP.
Rõ ràng bài toán này có thể giải được nếu bài toán ECDLP là giải được.
Bài toán ECDDHP:
Cho trước P, aP và bP của E trên GF(q) và cho trước điểm Q E. Hãy xác định xem Q = abP hay không?
M1:= Bài toán lô-ga-rít rời rạc trên đường cong Elliptic ( ECDLP) trên trường hữu hạn GF(q) được sử dụng để xây dựng các thuật toán mật mã có độ an toàn cao nhất hiện nay vì người ta chưa tìm được các thuật toán có thời gian tiểu hàm mũ tấn công được bài toán này.
2.2.2 Trao đổi khóa
Trong các mục còn lại, chuyên đề sẽ đề cập đến một số thuật toán ứng dụng trong trao đổi khóa, mã hóa và ký số cơ bản. Chuẩn do công ty Certicom xây dựng [1] mô tả chi tiết việc triển khai ứng dụng ECC. Tác giả D. Hankerson [2] phân tích việc triển khai ECC bằng phần mềm, trong khi đó
tác giả L. Cao [3] phân tích thực hiện các giao thức cơ bản của ECC bằng phần cứng.