trong nguyên tử
Mật độ xác suất tìm electron chung quanh hạt nhân nguyên tử tại một điểm có toạ độ là:
Xác suất để tìm electron trong phần tử thể tích dV tại lân cận điểm (r, θ, ϕ) có toạ độ ở trong khoảng
Vì trong toạ độ cầu ,
nên: , với
là phần tử góc khối.
Như vậy xác suất tìm electron trong nguyên tử được tách thành hai số hạng độc lập: số hạng thứ nhất chỉ phụ thuộc vào bán kính r mô tả xác suất tìm hạt theo bán kính; số hạng thứ hai phụ thuộc vào hai góc θ và ϕ mô tả sự phân bố của electron theo hướng. Sau đây ta sẽ khảo sát hai loại xác suất này.
- Phân bố theo bán kính
Mật độ xác suất tìm hạt trong khoảng bán kính từ r → r+dr nghĩa là ta xét lớp cầu có bề dày dr. Xác suất tìm electron lúc đó bằng:
(9)
Do điều kiện chuẩn hoá của hàm cầu Y m ℓ (θ, ϕ) nên tích phân theo góc ở phương trình (9) bằng đơn vị, từ đó công thức tính mật độ xác suất tìm hạt theo bán bính sẽ là
(10)
Từ (10) ta thấy mật độ xác suất tìm electron theo bán kính là một hàm của bán kính r và phụ thuộc vào 2 số lượng tử n và ℓ. Đây là lý do vì sao ta nói electron trong nguyên tử ở trên các lớp vỏ điện tử khác nhau (n khác nhau). Thay biểu thức của hàm bán kính ứng với các giá trị cụ thể của n và ℓ vào (10) ta sẽ được biểu thức của ứng với các trạng thái khác nhau của electron
Chẳng hạn, ở trạng thái cơ bản 1s (n = 1, ℓ = 0) hàm bán kính (r) là
Do đó, mật độ xác suất theo (10) có dạng:
- Phân bố theo góc
Bây giờ ta tìm mật độ xác suất tìm electron theo góc, nghĩa là theo các hướng của không gian, trong trường hợp bán kính trải dài từ 0 đến . Xác suất tìm electron trong trường hợp này sẽ bằng:
Do điều kiện chuẩn hoá của hàm bán kính nên tích phân theo bán kính ở (11) bằng đơn vị, từ đó công thức tính mật độ xác suất tìm electron theo góc sẽ là:
Thay biểu thức của hàm cầu với các giá trị cụ thể của ℓ và m ta sẽ được biểu thức của ứng với các trạng thái khác nhau của electron. Chẳng
hạn, ở trạng thái cơ bản, n = 1, ℓ = 0, m = 0, hàm do đó mật độ xác suất trong trường hợp này không phụ thuộc vào góc.
Kết hợp phân bố xác suất theo bán kính và theo góc ta được sự phân bố xác suất của electron trong không gian chung quanh hạt nhân của nguyên tử.