3/ M
B E
Há DH , DK vuõng goực vụựi AB vaứ AC . Ta coự : DH = DK = haống soỏ ( AD laứ phãn giaực cuỷa goực A )
2SAMDN = 2SADM + 2SADN = DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN ) = DH [AB+AC – (BM+CN)] (1) A B C D H M K N H 1 ủv k
Aựp dúng baỏt ủaỳng thửực Cõsi cho hai soỏ dửụng BM , CN :
BM + CN 2√BM. CN=2√k , daỏu “ = “ xaỷy ra BM = CN . Thay vaứo (1) ta ủửụùc :
2SAMDN DH(AB+AC- 2√k )
Dieọn tớch tửự giaực AMDN lụựn nhaỏt khi BM = CN = √k < AB AC . Luực ủoự SAMDN = ẵ (AB+AC - 2√k ) . Deĩ daứng dửùng ủửụùc caực ủoán thaỳng BM , CN theo heọ thửực BM2 = CN2 = k.1 ( trong ủoự 1 chổ 1 ủụn vũ daứi ) .
Caựch dửùng : Trẽn BC laỏy E sao cho BE = 1 . trẽn BF laỏy H sao cho BH = k . Dửùng ủửụứng troứn ủửụứng kớnh BE , dửùng tia Hx vuõng goực vụựi BE caột ủửụứng troứn tái M. BM coự ủoọ daứi cần dửùng .
Chuyên đề VIi: Tam giác - đờng cao -trung tuyến
I.Các bài tốn về đ ờng cao
1/ Cho ABC coự a > b > c . Chửựng minh : a/ ha < hb < hc
b/ a + ha b + hb
2/ Cho ABC coự ba cánh laứ a , b , c vaứ ba ủửụứng cao laứ ha , hb , hc . Chửựng minh raống neỏu 1 ha+ 1 hb+ 1 hc= 1 √p(p − a)+ 1 √p(p − b)+ 1
√p(p − c) thỡ tam giaực ABC laứ tam giaực ủều ( p laứ nửỷa chu vi cuỷa ABC .
3/ Chửựng minh raống neỏu moọt tam giaực coựựự 2 cánh khõng baống nhau thỡ toồng cuỷa cánh lụựn hụn vaứ ủửụứng cao tửụng ửựng lụựn hụn toồng cuỷa cánh nhoỷ vaứ ủửụứng cao tửụng ửựng .
4/ Cho ABC coự caực ủửụứng cao AA’ , BB’ , CC’ . Chieỏu A’ lẽn AB , AC , BB’ vaứ CC’ tái I , J , K , L . Chửựng minh 4 ủieồm I , J , K , L thaỳng haứng .
5/ Cho ABC , ủửụứng cao AH . Gói C’ laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa H qua AB . Gói B’ laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa H qua AC . Gói giao ủieồm cuỷa B’C’ vụựi AC vaứ AB laứ I vaứ K . Chửựng minh BI vaứ CK laứ ủửụứng cao cuỷa ABC .
. ẹệễỉNG CAO – CHU VI TAM GIÁC
1/ Chửựng minh raống mói ABC ta ủều coự : p2 ha2 + hb2 + hc2 ( p laứ nửỷa chu vi tam giaực ABC )
2/ Cho ABC . Xaực ủũnh caực ủieồm M , N , P theo thửự tửùù thuoọc caực cánh BC , CA , AB sao cho
chu vi MNP laứ nhoỷ nhaỏt .
1/ Cho 2 ủieồm A , B coựựỏ ủũnh vaứ ủieồm M di ủoọng sao cho MAB coựựự 3 goực nhón . Gói H laứ trửùc tãm cuỷa AMB , K laứ chãn ủửụứng cao veừ tửứ M . Tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa KH.KM .
TAM GIÁC – ẹệễỉNG CAO - PHÂN GIÁC
1/ ẹửụứng cao vaứ ủửụứng phãn giaực veừ tửứ ủổnh A cuỷa ABC táo thaứnh moọt goực . Tớnh goực ủo theo caực goực B vaứ C cuỷa tam giaực ABC ( hoaởc chửựng minh goực ủoự baống nửỷa hieọu cuỷa hai goực B vaứ C )
HệễÙNG DẪN
A Chuự yự vaứnhaọn xeựt :
+ D luõn naốm giửừa H vaứ trung ủieồm M ( seừ chửựng minh
B H D E C ụỷ phần sau )
+ Tỡm caựch táo ra moọt goực baống B – C hoaởc tớnh B-C . Caựch 1 : Tửứ A veừ tia AE sao cho CAE = BAH . Suy ra : HAD = DAE , HAE = 2 HAD B = 900 – BAH C = 900 – HAE - CAE B – C = HAE = 2 HAD Caựch 2 : B = 900 – BAH C = 900 – CAH