MÔN GIẢI TÍCH BẢN GA

Phạm Lan Hương

(K40C Sư phạm Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2) ỳ thi Olympic Toán học Sinh viên và Học sinh năm 2016 được tổ chức tại trường Đại học Quy Nhơn. Kỳ thi năm nay có 81 đoàn các trường đại học, cao đẳng và 11 đoàn các trường THPT chuyên với gần 1.000 cán bộ, giáo viên và sinh viên, học sinh tham dự. Sinh viên dự thi hai môn Giải tích và Đại số vào chiều 12/4 và sáng 13/4/2016. Mỗi thí sinh tham dự môn giải tích bảng A được đề nghị giải 5 bài toán trong thời gian 180 phút.

1. ĐỀ THI

Bài A.1. Cho  un n1 là dãy số được xác định bởi các điều kiện

, n n n , .

u a u      u2 u n

1 1 1 1

Tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy số  un n1 hội tụ.

1. Tìm giới hạn của dãy số đó khi nó hội tụ. Bài A.2.Phần nguyên của số thực x được định nghĩa là số nguyên lớn nhất không vượt quá xđược kí hiệu là    x . Hiệu x    x được gọi là phần lẻ của x và được kí hiệu là  x . Giả sử a, blà các số thực dương. Chứng minh rằng       lim . n a nb b na 0 khi và chỉ khi a và blà các số nguyên.

Bài A.3. Cho a1 là một số thực và hàm :

f   thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

i. f ax 2 a x f x3 2   với mọi số thực x. ii.f bị chặn trong một lân cận nào đó của 0. Chứng minh rằng

 f x x f x x

a

 2 với  x .

Bài A.4. Cho f :  là hàm số khả vi vô hạn và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

    , xlim   .f 0 f 0 0 f x 0 f 0 f 0 0 f x 0 1. Chứng minh rằng tồn tại một dãy số  xn n1 tăng ngặt và không âm sao cho

 n  n , f x 0

với mọi số nguyên dương n, trong đó  n

f kí hiệu đạo hàm cấp n của f.

2. Tồn tại hay không hàm số f thỏa mãn yêu cầu đề bài và không đồng nhất bằng 0? Bài A.5. Với mỗi số thực 0  1, gọi f là hàm số xác định trên khoảng  1, bởi công thức ln x x dt f t      x 1. 1. Chứng minh rằng f  là một phép đồng phôi, tức là một song ánh liên tục từ khoảng  1, lên một khoảng I nào đó sao cho ánh xạ ngược

  : , f1 I  1 cũng liên tục. 2. Tìm I. K 36