2. Phần mềm xử lý, tái tạo ảnh CT:
2.3.Thuật toỏn chiếu ngược lọc:
2.3.1. Cỏc bước khai triển của thuật toỏn chiếu ngược lọc:
Bước đầu tiờn, ta định nghĩa hỡnh chiếu được sử dụng trong thuật toỏn này: Hỡnh dưới đõy biểu diễn hỡnh chiếu của vật thể ở một gúc θ, nghĩa là phương chiếu tạo với phương x của trục tọa độ gúc một gúc θ. Giả sử f(x,y) là hàm phõn bố hệ số
suy giảm tuyến tớnh của mặt cắt trờn hệ tọa độ O(x,y) thỡ hàm Pθ(t) là khai triển Radon của hàm phõn bố f(x,y), chớnh là hỡnh chiếu của f(x,y) ở gúc θ:
Khai triển Fourier của hàm Pθ(t) cho ta giỏ trị của F(u,v) dọc theo đường BB’
Từ đú, ta suy ra dạng khai triển Fourier ngược:
Như thế, biết được dữ liệu hỡnh chiếu, nhờ vào khai triển Fourier ngược ta cú thể suy ra được hàm phõn bố f(x,y) ban đầu.
Để làm rừ hơn về thuật toỏn chiếu ngược lọc, chỳng ta sẽ xem xột tới hai trường hợp cụ thể của hệ thống tia X là dạng hỡnh chiếu song song và hỡnh chiếu dạng quạt.
2.3.2. Áp dụng thuật toỏn chiếu ngược lọc cho trường hợp hỡnh chiếu song song: Giả sử, hàm phõn bố vật thể trờn mặt cắt được biểu diễn bằng khai triển Fourier ngược 2 chiều:
(1) Đổi sang hệ tọa độ cực:
(2)
Tớch phõn được từng phần từ 0 đến 180o và từ 180o đến 360o (4) Hàm F cú tớnh chất: (5) ệ (6) Đặt t=xcosθ + ysinθ
Nếu ta thay thế khai triển Fourier của hỡnh chiếu ở gúc (θ,Sθ(w)) cho khai triển
Fourier 2 chiều F(w,θ):
(7) Biểu thức trờn cú thể được biểu diễn khỏc đi:
(8) Với
(9)
Phương trỡnh (8) được gọi là phương trỡnh chiếu ngược và phương trỡnh (9) biểu diễn bộ lọc của hỡnh chiếu: tần số đỏp ứng của bộ lọc là |w|. Với mỗi điểm (x,y) trờn mặt phẳng ảnh, cú tương ứng một giỏ trị t=xcosθ + ysinθ với θ cho trước, và một hàm lọc hỡnh chiếu Qθ .
Từ hỡnh minh họa trờn, ta cú thể thấy: với cựng 1 gúc θ, giỏ trị của t là như
nhau đối với tất cả cỏc điểm (x,y) trờn đoạn LM. Do đú, hàm lọc hỡnh chiếu Qθ đảm bảo sự đúng gúp giống nhau đến việc tỏi cấu trỳc hỡnh ảnh của những điểm này.
Đại lượng w cú chiều là khụng gian tần số do đú phộp tớch phõn trong phương trỡnh (9) được lấy trờn toàn khụng gian tần số.
2.3.3. Áp dụng thuật toỏn chiếu ngược lọc cho trường hợp hỡnh chiếu dạng quạt: Đặt Rβ(γ) biểu diễn hỡnh chiếu quạt dưới đõy:
Chọn hệ trục tọa độ decarte sao cho tia trung tõm đi qua gốc tọa độ. β là gúc
tạo bởi tia trung tõm và trục tọa độ. γ là gúc giữa 1 tia bất kỡ của chựm với tia trung tõm. Xột tia SA cú gúc γ. Như vậy: θ = β + γ và t = D(10), với D=SO.
Như thế, tất cả cỏc tia trong hỡnh chiếu song song ở gúc θ vuụng gúc với tia
PQ, và OB=t. Từ những hỡnh chiếu song song Pθ(t), ta cú thể tỏi cấu trỳc lại được hàm f(x,y) :
(11)
Với tm là giỏ trị của t khi mà Pθ(t)=0 với |t|>tm trong tất cả cỏc hỡnh chiếu. Lấy hỡnh chiếu song song trờn toàn miền 360o :
(12) Chuyển sang hệ tọa độ cực : x=rcosθ và y=rsinθ (13)
ệ (14) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thay (10) vào (14) :
(15)
Cận [-γ ;2π-γ] cú thể thay bằng cận [0 ;2π], ta lấy tớch phõn trờn toàn miền
360o và tất cả cỏc hàm của β đều là tuần hoàn với chu kỡ 2π. Thừa số Sin-1(tm/D) bằng
với giỏ trị của γ cho tia SE, do đú cận [ -Sin-1(tm/D); Sin-1(tm/D)] của γ cú thể thay
bằng [-γm ;γm] tương ứng. Thừa số Pβ+γ(Dsinγ) tương ứng với tớch phõn đường dọc theo SA trong dữ liệu hỡnh chiếu song song Pθ(t). Bằng việc chọn cận thớch hợp, cỏc
tớch phõn đường này trong hỡnh chiếu quạt là giống nhau với cỏc tia nờn ta cú thể đơn giản húa thành Rβ(γ) , ta được :
(16) Để thuận tiện cho mỏy tớnh xử lý, đối số trong hàm h cú thể được biểu diễn như sau :
Đặt L là khoảng cỏch từ S đến điểm C(x,y) (trong hệ tọa độ cực là C(r,Φ) như trong hỡnh trờn. Rừ ràng, L là hàm của 3 biến số : r, Φ và β. Gọi γ’ là gúc của tia đi qua điểm C. Ta cú : (18) Ta hoàn toàn cú thể xỏc định L và γ’ : (19) (20) Từ (17) và (18) ta tớnh đối số của h : (21) Thay (21) vào (16) ta được :
(22) Khai triển Fourier ngược của hàm h(t) :
(23)
Đặt ta cú :
(25) Do đú, (22) được viết lại :
(26)
Với (27)
Trong xử lý bằng mỏy tớnh, chuyển sang dạng thuật toỏn chiếu ngược cú lọc :
ệ (28)
Với (29) và (30)
* Kết luận: Như vậy, bằng việc xỏc định được cỏc tham số thực nghiệm bao gồm hỡnh chiếu, gúc chiếu, gúc của chựm tia, bỏn kớnh quỹ đạo quay, .... và ỏp dụng vào cụng thức (28), ta cú thể dễ dàng tớnh toỏn được hàm phõn bố giỏ trị hệ số suy giảm tuyến tớnh trờn lỏt cắt và hiển thị hỡnh ảnh của lỏt cắt trờn thang màu xỏm.
phần IV
thiết kế chi tiết bộ truyền động gá chi tiết phục vụ cho quá trình chụp cắt lớp CT