Phương pháp
Cơ sở của phương pháp cần thực hiện hai bước cơ bản cho định nghĩa a b, ( )
a b
a b
- Bước 1: Kiểm tra hai đường thẳng ở trong cùng một mặt phẳng hay hiểu rằng điều đĩ hiển nhiên xảy ra nếu chúng cùng nằm trong một hình phẳng nào đĩ.
- Bước 2: Dùng định lý Thales, tam giác đồng dạng, tính chất bắc cầu (hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba), là hai đáy của hình thang, hai cạnh đối của hình bình hành… để khẳng định hai đường thẳng đĩ khơng cĩ điểm chung.
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I J, lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng IJ CD.
Bài 2. Cho hình chĩp S ABCD. , cĩ đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: MN CD.
b) Tìm giao điểm P của SC với (ADN).
c) Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI AB CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M N P Q R S, , , , , lần lượt là trung điểm của AB CD, , BC AD, , AC BD, .
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
a b
27
b) Từ đĩ suy ra ba đoạn MN PQ RS, , cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Bài 4. Cho hình chĩp S ABCD. , cĩ đáy là hình bình hành. Gọi M N P Q, , , là các điểm lần lượt nằm trên BC SC SD AD, , , sao cho MN BS NP, CD MQ, CD.
a) Chứng minh: PQ SA.
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ . Chứng minh: SK AD BC.
c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx SC và Qy SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB) và của Qy với (SCD).
Bài 5. Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy là hình bình hành. Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm
, , ,
BC CD SB SD.
a) Chứng minh rằng MN PQ.
b) Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC, J thuộc SA sao cho 1 2
JS
JA . Chứng minh
IJ SM .
Bài 6. Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC); (SAB) và (SCD).
b) Lấy điểm M thuộc SC . Tìm giao điểm N của SD và (ABM). Tứ giác ABMN là hình gì?
Bài 7. Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M H K, , lần lượt là trung điểm của AD SA SB, , .
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC). b) Tìm giao tuyến của (SCD) và (MHK).
c) Tìm giao điểm N của BC và (MHK). Tứ giác MHKN là hình gì?
Bài 8. Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I J K, , lần lượt là trung điểm của AD BC SB, , .
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD). b) Tìm giao tuyến của (SCD)và (IJK). c) Tìm giao điểm M của SD và (IJK). d) Tìm giao điểm N của SA và (IJK).
e) Xác định thiết diện của hình chĩp với (IJK). Thiết diện là hình gì?
Bài 9. Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của SB BC SD, , .
a) Tìm giao tuyến của (SCD) và (MNP). b) Tìm giao điểm của CD với (MNP).
28 c) Tìm giao điểm của AB với (MNP).
d) Tìm giao tuyến của (SAC) với (MNP). Suy ra thiết diện của hình chĩp với (MNP).
Bài 10. Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M E F, , lần lượt là trung điểm của AB SA SD, , .
a) Tìm giao tuyến của (MEF) và (ABCD). b) Tìm giao điểm của BC và (MEF). c) Tìm giao tuyến của SC và (MEF).
d) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của SO và (MEF).
Bài 11. Cho hình chĩp S ABCD. cĩ đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của OB SO BC, , .
a) Tìm giao tuyến của (NPO) và (SCD). b) Tìm giao tuyến của (SAB) và (AMN). c) Tìm giao điểm E của SAvới (MNP). d) Chứng minh ME và PN song song nhau. e) Tìm giao điểm của MN và (SCD). f) Tìm thiết diện của hình chĩp và (MNP).
Bài 12. Cho hình chĩp S ABC. . Gọi M N P, , là trung điểm AB BC SC, , . Cho SB AC. a) Tìm giao điểm E của SA và (MNP).
b) Chứng minh rằng NP ME SB. Tứ giác MNPE là hình gì? c) Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC).
d) Tìm giao điểm SM và (ANP).
Bài 13. Cho hình chĩp S ABCD. đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của SB SD OD, , .
a) Tìm giao điểm I của BC và (AMN); tìm giao điểm J của CD và (AMN). b) Tìm giao điểm K của SA và (CMN).
c) Tìm giao tuyến của (NPK) và (SAC). d) Tìm giao điểm của SC và (NPK). e) Tìm thiết diện hình chĩp và (AMN).
29