a) Người ta chứng minh được rằng: Z = X a− n
σ có phân phối N(0, 1) và T = X a n
S −
có phân phối Student với n – 1 bậc tự do, nghĩa là T có hàm mật độ dạng
f(t) = 2 n 2 C t (1 ) n 1 + − , t ∈ R
trong đó C là một hằng số xác định chỉ phụ thuộc vào n.
Do tầm quan trọng, người ta lập bảng tính sẵn để tìm tα/2(n − 1) thoả mãn P(T ≥ tα/2 (n – 1)) = 2
α
. Chẳng hạn với n = 13, n – 1 = 12, t0,025(12) = 2,201
n = 14, n – 1 = 13, t0,05(13) = 1,771.
b) Từ đó khoảng tin cậy của a với độ tin cậy γ = 1 −α khi σ = σ0 đã biết là ( X − zα/2. o n σ ; X + zα/2 . o n σ ).
Khoảng tin cậy của a với độ tin cậy γ = 1 −α khi σ chưa biết là: (X t / 2(n 1) S ; X t / 2(n 1) S ).
n n
α α
− − + −
B. HOẠT ĐỘNG
HOẠT ĐỘNG 6.1. THỰC HÀNH ƯỚC LƯỢNG KÌ VỌNG a KHI CỠ MẪU NHỎ
NHIỆM VỤ:
Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản sau đó thảo luận theo nhóm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau:
86
Giả thiết rằng chiều cao của học sinh lớp 12 của một trường có phân phối chuẩn. Để ước lượng chiều cao trung bỡnh, 15 nam lớp 12 của trường được chọn ngẫu nhiên để đo và thu được bảng số liệu sau (đơn vị là cm):
162,0 161,4 159,8 162,2 160,3
160,4 159,4 160,2 160,4 160,8
161,8 159,2 161,1 160,4 160,9
Xác định khoảng tin cậy về chiều cao trung bình của nam học sinh trường đó với độ tin cậy γ = 95%.
NHIỆM VỤ 1:
Từ bảng phân phối Student, tìm t0,025 (14) NHIỆM VỤ 2:
Tính X , S. NHIỆM VỤ 3:
Xác định khoảng tin cậy của chiều cao trung bình.
ĐÁNH GIÁ
6.1. a) Với X có phân phối chuẩn: N(a, σ2) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
X a X a n và n S − − σ có phân phối gì? b) Với n khá lớn, X a n S −
có phân phối gần với phân phối chuẩn tắc N(0, 1) có đúng không?
6.2. Để ước lượng tuổi thọ trung bình a của một loại pin, một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 chiếc pin được kiểm tra. Kết quả được ghi lại trong bảng sau (đơn vị giờ):
17,2 17,3 17,3 17,4 17,4 17,5 17,6 16,6 16,6 16,7 16,5 17,3 17,1 17,0 17,1 17,0
Giả thiết rằng tuổi thọ của loại pin này có phân phối chuẩn với σ0 = 3,43. Tìm khoảng tin cậy của a với độ tin cậy γ = 95%.
87
THÔNG TIN PHẢN HỒI
Đối với hoạt động 6.1, t0,025(14) = 2,145; X = 2410,39
15 = 160,69; S = 0,81 = 0,90.
Từ đó ta có khoảng tin cậy của a là: 160,69 - 2,145 0,90
15 < a < 160,69 + 2,145 0,90
15 . Tính ra ta được 160,19 < a < 161,18.
88
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.7.
KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆ TRONG TẬP TỔNG QUÁT
A. THÔNG TIN CƠ BẢN
Xét một tập hợp tổng quát với số lượng rất lớn các phần tử, được phân làm hai loại: loại có tính chất A và loại không có tính chất A. Tỉ lệ các đối tượng có tính chất A là p chưa biết cần ước lượng. Một mẫu gồm n đối tượng được chọn ngẫu nhiên để kiểm tra. Ta thấy có m đối tượng có tính chất A. Tỉ số p m
n