2 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN THỰC TIỄN
2.6. Một số bài toán ứng dụng trong vật lý
Trong các chương dao động, động lực học... của môn Vật lý có nhiều ứng dụng của toán học như dùng vecto, đạo hàm, Định lý hàm số sin,
cosin... Chúng ta xét một số bài tập sau.(hướng dẫn giải được đề cập sau)
Ví dụ 2.6.1. Một vật được ném lên trời xiên góc α so với phương nằm ngang, vận tốc ban đầu v0 = 9m/s.
a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà nó đạt được độ cao đó (coi g = 10m/s2).
b) Xác định góc α để tầm ném cực đại. Lời giải.
a) Ta phân tích −→v0 thành hai vecto theo hai phương vuông góc với nhau (phương nằm ngang và thẳng đứng) như hình vẽ.
Ta thấy vật cao nhất khi −−→MN = −−−→MP trong đó |−−→MP| = gt(1); MN2
= v2 0 −MK2. Từ đó suy ra: MN2 = v2 0 −v2 0.cos2 α(2). Từ (1) và (2) ta suy ra: g2 t2 = v2 0(1−cos2 α) hay h lớn nhất khi và chỉ khi t= v0.sinα g .
Từ đó dẫn đến độ cao h = MN.t = v0sinα.v0sinα
g = v2 0.sin2 α g . Hình 2.10:
b) Vì quỹ đạo của vật ném xiên là một Parabol nên tầm ném xa của vật là x = MK.2t = v0cosα.2v0sinα
g =
v2
0sin2α
g . Rõ ràng x đạt max khi sin2α đạt max như vậy α = 450.
Ví dụ 2.6.2. Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đến mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó?
Lời giải.
Với bài toán này, ta cần xác định OA để góc \BOC lớn nhất.
Để điều này xảy ra khi và chỉ khi tan\BOC lớn nhất. Đặt OA = x(m);x > 0.
Hình 2.11:
Ta có: tan\BOC = tan(AOC[ − AOB[) = tan
[
AOC −tanAOB[
1 +tanAOC.tan[ AOB[ = AC OA − AB OA 1 + AC.AB OA2 = 1,4x x2 + 5,76. Bài toán trở thành tìm x > 0 để hàm số f(x) = 1,4x x2 + 5,76 đạt giá trị lớn nhât.
Bằng cách dùng đạo hàm ta tìm được Maxf(x) = 84
193 đạt được khi x = 24(m).
Ở ví dụ vừa rồi chúng ta đã xét một bài toán thực tế có liên quan đến cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng đạo hàm. Sau đây chúng ta
xét thêm ví dụ nữa như sau.
Ví dụ 2.6.3. Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai cùng khởi hành, một chạy về hường nam với vận tốc 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách của hai tàu nhỏ nhất?
Lời giải.
Ta có tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d.
Hình 2.12:
d2 = AB12 +AA21 = (5−BB12)2 +AA21 = (5−7t)2 + (6t)2
Từ đó ta có d = d(t) = √
85t2
−70t+ 25.
Bài toán trở thành tìm t > 0 để d đạt giá trị nhỏ nhất.
Bằng cách sử dụng đạo hàm ta tìm được mind ' 3,25 hải lý, đạt được khi t = 7
Kết luận
Toán học có liên hệ rất sâu sắc đến thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi đến các ứng dụng của cuộc sống.
Trong chuyên đề này, chúng tôi đã phần nào trình bày được một số quan điểm về việc dạy học toán gắn với thực tiễn cũng như với các môn học ở trường phổ thông.
Trong chuyên đề cũng đã trình bày được một số ví dụ cụ thể của Toán học liên quan đến thực tiễn nhằm phần nào giúp cho bài học được sinh động, phát huy được tính độc lập sáng tạo của học sinh, từ đó giúp học sinh có một cách nhìn gần gũi hơn giữa các môn học cũng như giữa môn Toán và thực tiễn.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên chuyên đề này còn thiếu nhiều ứng dụng của toán học vào thực tiễn như ứng dụng của xác suất thống kê, lượng giác, số phức... Mong được sự góp ý của bạn bè và đồng nghiệp để chuyên đề này được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Sở GD và ĐT Bắc Giang, Văn bản chỉ đạo về việc dạy học tích hợp, liên môn.
[2] Lê Hải Yến, Dạy và học cách tư duy, nhà xuất bản ĐHSP, tháng 4 năm 2008.
[3] Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Bùi Văn TuyênDạy và học toán theo hướng đổi mới, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2008.
[4] .Tạp chí Toán tuổi thơ, nhà xuất bản Giáo dục
[5] .Nguyễn Ngọc Sơn Góp phần tìm hiểu về chương trình đánh giá HS quốc tế (PISA), tập san Giáo dục, số 3 năm 2010.
[6] .Bùi Huy Ngọc, Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong dạy học số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho HS THCS, Luận văn tiến sĩ giáo dục, Vinh - 2003.