Có nhiều chiến lược được sử dụng để giải quyết tối ưu hóa tối thiểu để xác định các tham số vật liệu trong tài liệu. Chúng ta có thể chia các thuật toán thành ba loại: thuật toán sử dụng phương pháp tối thiểu hóa đơn giản, thuật toán sử dụng phương pháp gradient và thuật toán dựa trên một hệ thống xác định phân phối vật liệu.
30
Trong công trình này, tác giả phát triển một cách tiếp cận mới dựa trên thuật toán gradient bằng cách áp dụng phương pháp di chuyển các tiệm cận (MMA) được cung cấp bởi Giáo sư Kristen Swanberg [28]. Sau công việc của Kiyono et al. [12], chúng tôi cũng cố gắng sửa đổi tối ưu hóa dựa trên thuật toán MMA cho bước sơ bộ và bước tinh chỉnh như sau:
Minimize:0 (40)
Các ràng buộc cho bước sơ bộ
Subject to: ( ) ≤ 0, = 1 ÷
( ) ≥ 0, = 1 ÷
≤ ≤
(41)
Các ràng buộc cho bước tinh chỉnh
Subject to: ( ) ≤ 0, = 1 ÷
( ) ≥ 0, = 1 ÷
≤ ≤
(42)
Giá trị hàm mục tiêu trong biểu thức. (38) và phương trình. (39) vẫn được sử dụng để đánh giá sự hội tụ của quá trình tối ưu hóa
4.4. Điều kiện để đảm bảo độ hội tụ và lưu đồ giải thuật
Như đã lưu ý, chúng tôi có hai bước tối ưu hóa trong công việc của chúng tôi. Đầu tiên là tối ưu hóa sơ bộ và sự hội tụ của bước này có được khi hai điều kiện được thỏa mãn. Hai điều kiện là giá trị hàm mục tiêu ℑ ≤ 0.2 và sai số tuyệt đối giữa các giá trị hàm mục tiêu của các lần lặp tiếp theo ℑ − ℑ ≤ 0.01. Hình 4 trong Phần 4 cho thấy kết quả sau bước sơ bộ. Bước thứ hai hoặc bước tối ưu hóa tinh chỉnh cũng có hai điều kiện. Cả hai điều kiện được gọi là giá trị hàm mục tiêu và sai số tuyệt đối giữa các giá trị hàm mục tiêu của các lần lặp tiếp theo, đều nhỏ hơn 5*1e-8.
31
Hình.4.1: Lưu đồ giải thuật dựa trên phương phá đẳng hình học và thuật toán tối ưu MMA
Các biến thiết kế ban đầu cho bước sơ bộ được chọn giá trị ngẫu nhiên trong phạm vi ± 20% thuộc tính được cung cấp bởi nhà sản xuất. Chúng ta có thể nhận các giá trị ngẫu nhiên trong Matlab như:
x = 0.8 + 0.4 ∗ (1) ∗ ̅, = 1 ÷ (43)
Trong trường hợp bước tinh chỉnh, chúng tôi đề xuất các biến thiết kế ban đầu của phần tưởng tượng dựa trên công việc của Kiyono et al. Các biến thiết kế của bước tinh chỉnh được xác định là:
x = [x x … x x x … x _ ] (44)
Data Input:
Density Dimensions
Measured impedance curve (Z) data Initial guess of material parameters
Preliminary condition
N Yes
Build IGA model
Calculate Numerical Z MMA Objective function 1 (Preliminary step) Yes N Calculate Numerical Z
Input parameter for refinement step
Real part: result from preliminary step
Imaginary part: guess based on real part
Objective function 2 (Refinement step) Full complex MMA Refinemen t Find frequency at resonance mode (f k)
32
Trong đó x là kết quả trong bước sơ bộ của biến thứ tự thứ ith. _ là số lượng biến thiết kế phần thực.
4.5. Kiểm chứng phương pháp – Xác định thông số vật liệu dựa trên đường cong trở kháng điện
Trong ví dụ này, tác giả sẽ kiểm chứng phương pháp dựa trên mẫu dữ liệu đã được đề xuất ở chương 3 – Mẫu Pz27 với thông số hình học và vật liệu đã trình bày ở chương 3. Đường cong giả định thí nghiệm sử dụng dữ liệu đã đề cập trong chương 3 dựa trên thông số vật liệu ở bảng 3.1. Để tạo đường cong trở kháng ban đầu cho bài toán phân tích ngược đảo, các tham số thực ban đầu được lấy bằng các giá trị ngẫu nhiên trong phạm vi ± 20% xung quanh các thuộc tính được cho trong Bảng 3.1.
Bảng 4.1: So sánh thông số vật liệu tham khảo với giá trị tối ưu sau khi thực hiện xong bước sơ bộ.
Unit Initial values Ref Pre Opt Diff (%)
c11 GPa 10.557 11.81 11.53 2.374 c12 GPa 7.0501 7.49 7.252 3.174 c13 GPa 8.3282 7.38 6.779 8.225 c33 GPa 8.9000 11.04 10.46 5.199 c44 Cm-2 1.6565 2.027 2.045 0.931 e31 Cm-2 4.4247 5.1 4.416 13.40 e15 Cm-2 11.868 11.2 11.92 6.483 e33 Cm-2 17.483 16 16.94 5.905 / -- 10.422 9.84 10.9 10.77 / -- 8.1371 8.3 8.414 1.384
Bảng 4.1 cho thấy các giá trị ban đầu của các biến thiết kế dựa trên số ngẫu nhiên và kết quả. Hình. 4.2 cho thấy sự so sánh của đường cong trở kháng giả thực nghiệm, đường cong trở kháng ban đầu và đường cong trở kháng của kết quả sơ bộ. Có thể thấy rằng sự cộng hưởng của các đường cong kết quả giả thực nghiệm và tiền giả là gần bằng nhau.
Giá trị hàm mục tiêu của bước đầu tiên bằng ℑ = 0.1667. Hình 4.1 cho thấy sự hội tụ
33
Hình. 4.1: Đồ thị hội tụ của hàm mục tiêu ở bước sơ bộ
Hình 4.2: So sánh giữa đường trở kháng ban đầu, đường trở kháng sau khi thực hiện bước sơ bộ và đường trở kháng giả thực nghiệm.
Bước tinh chỉnh liên quan đến việc xác định đồng thời cả phần thực và phần ảo của các tham số phức. Để bắt đầu tối ưu hóa sàng lọc, chúng ta phải tạo các biến thiết kế ban đầu dựa trên bước đầu tiên. Các biến thiết kế ban đầu hiển thị trong Bảng 4.3.
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 25 X: 1 Y: 22.21 Ob jec tiv e f u n c tio n v a lue Number of iteration Convergence for preliminary step
X: 17 Y: 0.1667 0 100 200 300 400 500 600 700 800 10-1 100 101 102 103 104 105
Electrical impedance curve for Pz27
Frequency (f) [kHz] |Z | [ ] Pseudo-Experimental IGA-Initial IGA-Preliminary result
34
Bảng 4.3: So sánh giá trị tham khảo và giá trị sau khi thực hiện ở bước tinh chỉnh. Unit Initial values Ref Result Total steps Diff (%)
c11 GPa 11.53 11.81 11.81 17+08 0 c12 GPa 7.252 7.49 7.49 17+11 0 c13 GPa 6.779 7.38 7.38 17+18 0 c33 GPa 10.46 11.04 11.04 17+10 0 c44 Cm-2 2.045 2.027 2.027 17+16 0 e31 Cm-2 4.416 5.1 5.1001 17+32 0.001% e15 Cm-2 11.92 11.2 11.2 17+24 0 e33 Cm-2 16.94 16 15.999 17+13 0.006% / -- 10.9 9.84 9.84 17+30 0 / -- 8.414 8.3 8.3 17+13 0 ̅ GPa 11.53 0.56 0.56 17+30 0 ̅ GPa 7.252 0.035 0.034998 17+34 0 ̅ GPa 6.779 0.024 0.024047 17+38 0 ̅ GPa 10.46 0.47 0.47003 17+37 0 ̅ Cm-2 2.045 0.36 0.36001 17+33 0 ̅ Cm-2 4.416 0.0003 0.00063 17+38 110% ̅ Cm-2 11.92 -0.039 -0.0639 17+38 63.8% ̅ Cm-2 16.94 -0.10 -0.16 17+38 60% ̅ / -- 10.9 -0.06 -0.0577 17+38 3.83% ̅ / -- 8.414 -11 -11 17+23 0
Các kết quả cuối cùng của các tham số vật liệu đầy đủ (gồm phần thực và phần ảo) thu được bằng phương pháp đề xuất cũng được trình bày trong Bảng 4.3. Hình 4.3 minh họa sự so sánh giữa các đường cong trở kháng điện thử nghiệm và giả sử của đĩa Pz27. So sánh này cho thấy sự trùng lặp tuyệt vời giữa hai đường cong. Cả hai đường cong được chồng lên cho cả cường độ và pha. Hình 4.4 trình bày độ hội tụ của giá trị hàm mục tiêu
35
Hình 4.3: Đồ thị hội tụ của hàm mục tiêu ở bước tinh chỉnh.
Hình 4.4: Đồ thị so sánh đường trở kháng điện ban đầu, đường giả thực nghiệm và đương cong cuối cùng thực hiện bằng phương pháp hiện hành.
0 10 20 30 40 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 10 -3 X: 1 Y: 0.003289 O b je c tiv e f u n c tio n v a lu e Number of iteration Convergence for refinement step
X: 38 Y: 4.948e-08 0 200 400 600 800 1000 1200 100 101 102 103 10 Frequency (f) [kHz] |Z| [ ] Pseudo-Experiment IGA-Priliminary step IGA-Final result
36
Chương 05:
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
5.1 Kết luận
- Đề tài đã hoàn thành mục tiêu đề ra:
+ Nghiên cứu lý thuyết phương pháp đẳng hình học IGA cho bài toán thuận trong việc xây dựng đường trở kháng điện dựa trên dữ liệu là thông số vật liệu đầu vào.
+ Nghiên cứu phương pháp tối ưu MMA cho bài toán tối ưu.
+ Xây dựng thuật toán cho hướng tiếp cận dựa trên phương pháp đẳng hình học và phương pháp tối ưu MMA trong việc xác định thông số vật liệu áp điện dựa trên đường trở kháng điện.
+ Viết chương trình giải một số bài toán và so sánh kết quả. + Đăng bài trên tạp chí SCI-Q1 đạt được mục tiêu đề ra.
5.2 Kiến nghị
- Nghiên cứu IGA áp dụng cho các bài toán xác định đường trở kháng điện cho
vật thể 3D.
- Nghiên cứu phương pháp đẳng hình học kết hợp machine learning trong xác
37
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] R. Lerch, Simulation of piezoelectric devices by 2-dimensional and 3-dimensional finite- elements, IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control 37 (1990) 233–247.
[2] P. Lloyd, M. Redwood, Finite-difference method for the investigation of the vibrations of solids and the evaluation of the equivalent-circuit characteristics of piezoelectric resonators. I, II, J. Acoust. Soc. Am. 39 (1966) 346–361.
[3] Physical and Piezoelectric Properties of APC Materials, APC International, www.americanpiezo.com.
[4] Lerch, R. (1996) Verbesserung des Verfahrens zur Bestimmung der elektroelastischen Tensoren von piezokeramischen Materialien. Technical report, University of Linz.
[5] Meeker TR, Publication and proposed revision of ANSI/ IEEE standard 176-1987 “ ANSI/ IEEE standard on piezoelectricity“, IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control 43 307-21
[6] K. Uchino ; S. Hirose, Loss mechanisms in piezoelectrics: how to measure different losses separately.
[7] Kin Wing Kwok, Helen Lai Wah Chan, and Chung Loong Choy,Evaluation of the material Parameters of Piezoelectric Materials by Various Methods, IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control, 44 733-742
[8] N. Pérez, F. Buiochi, M. A. B. Andrade and J. C. Adamowski, Numerical Characterization of Piezoceramics Using Resonance Curves, Materials 9 1-30, 2016.
[9] Kaltenbacher B, Kaltenbacher M, Lerch R and Simkovics, Identification of material tensors for piezoceramic materials, IEEE Ultrasonics Symposium 2000 2 1033–6
[10] Kaltenbacher B, Lahmer T, Marcus Mohr, Kaltenbacher M, PDE based determination of piezoelectric material tensors, European Journal of Applied Mathematics 17 383-416, 2006 [11] Lahmer T, Kaltenbacher M, Kaltenbacher B, Lerch R, Leder E, Fem-based determination of real and complex elastic, dielectric, and piezoelectric moduli in piezoceramic materials, IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control 55 465–75.
[12] Perez, N.; Carbonari, R.C.; Andrade, M.A.B.; Buiochi, F.; Adamowski, J.C. A FEM-based method to determine the complex material properties of piezoelectric disks. Ultrasonics 2014, 54, 1631–1641.
38
[13] Kiyono, C.Y.; Peréz, N.; Silva, E.C.N. Determination of full piezoelectric complex parameters using gradient-based optimization algorithm. Smart Mater. Struct. 2015
[14] V.S. Mashkevich, K.B. Tolpygo, Electrical, optical and elastic properties of diamond crystals, Sov. Phys. JETP-USSR 5 (3) (1957) 435–439.
[15] A. K. Tagantsev, Piezoelectricity and flexoelectricity in crystalline dielectrics, Physical Review B 34 (1986) 5883–5889.
[16] T. D. Nguyen, S. Mao, Y.-W. Yeh, P. K. Purohit, M. C. McAlpine, Nanoscale flexoelectricity, Advanced Materials 25 (2013) 946–974.
[17] X. Jiang, W. Huang, S. Zhang, Flexoelectric nano-generator: materials, structures and devices, Nano Energy 2 (2013) 1079–1092.
[18] P. Zubko, G. Catalan, A. K. Tagantsev, Flexoelectric effect in solids, Annual Review of Materials Research 43 (2013) 387–421.
[19] P. V. Yudin, A. K. Tagantsev, Fundamentals of flexoelectricity in solids, Nanotechnology 24 (2013) 432001.
[20] L. E. Cross, Flexoelectric effects: charge separation in insulating solids subjected to elastic strain gradients, Journal of Materials Science 41 (2006) 53–63.
[21] G. Catalan, L. J. Sinnamon, J. M. Gregg, The effect of flexoelectricity on the dielectric properties of inhomogeneously strained ferroelectric thin films, Journal of Physics: Condensed Matter 16 (2004) 2253–2264.
[22] Amir Abdollahi, Christian Peco, Daniel Millan, Marino Arroyo, Irene Arias, Computational evaluation of the flexoelectric effect in dielectric solids, J. Appl. Phys. 116 (2014) 093502. [23] J. Shu , W. King , and N. Fleck , Finite elements for materials with strain gradient effects,
Int. J. Numer. Methods Eng. 44, 373 (1999).
[24] E. Amanatidou and N. Aravas, Mixed finite element formulations of strain-gradient elasticity problems, Comput. Methods. Appl. Mech. Eng. 191, 1723 (2002).
[25] S. Markolefas , D. Tsouvalas , and G. Tsamasphyros, Some C0-continuous mixed formulations for general dipolar linear gradient elasticity boundary value problems and the associated energy theorems, Int. J. Solids Struct. 45, 3255 (2008).
39
[26] S.S. Nanthakumar, Xiaoying Zhuang, Harold S. Park, Timon Rabczuk, Topology Optimization of Flexoelectric Structures, Journal of the Mechanics and Physics of Solids(2017), doi: 10.1016/j.jmps.2017.05.010
[27] J.A. Cottrell, T.J.R. Hughes, Y. Bazilevs, Isogeometric Analysis Towards Integration of CAD and FEA, Wiley, UK, 2009.
[28] Hamid Ghasemic, Harold S. Parkd, Timon Rabczuk, A level-set based IGA formulation for topology optimization of flexoelectric materials, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
[29] Svanberg K, The method of moving asymptotes a new method for structural optimization Int. J. Numer. Method 1987
[30] D. Berlincourt, H. Jaffe, Elastic and piezoelectric coefficicents of single crystal barium titanate, Physical Review 111 (1958) 143–148.
[31] R. Maranganti, P. Sharma, Atomistic determination of flexoelectric properties of crystal-line dielectrics, Physical review B 80 (2009) 054109