II. NGÔN NGỮ VÀ BIỂU DIỄN NGÔN NGỮ
2.2. Vấn đề biểu diễn ngôn ngữ
Đối với các ngôn ngữ hữu hạn, để biểu diễn chúng một cách đơn giản ta chỉ cần liệt kê tất cả các chuỗi thuộc vào chúng.
Chẳng hạn: L1 = {ε}
L2 = { a, ba, aaba, bbbbb }
Tuy nhiên, trong trƣờng hợp các ngôn ngữ là vô hạn, ta không thể liệt kê tất cả các chuỗi thuộc ngôn ngữ đƣợc mà phải tìm cho chúng một cách biểu diễn hiệu quả khác.
Trong những trƣờng hợp không phức tạp lắm, ngƣời ta thƣờng xác định các chuỗi bằng cách chỉ rõ một đặc điểm chủ yếu chung cho các chuỗi đó. Đặc điểm này thƣờng đƣợc mô tả qua một phát biểu hay một tân từ.
Tin học Lý Thuyết trên WEB‖ Chẳng hạn: L3 = { ai | i là một số nguyên tố }
L4 = { aibj | i ≥ j ≥ 0 }
L5 = { w ∈ { a, b}* | số a trong w = số b trong w }
Trong phần lớn các trƣờng hợp, ngƣời ta thƣờng biểu diễn ngôn ngữ một cách tổng quát thông qua một văn phạm hay một ôtômát. Văn phạm là một cơ chế cho phép sản sinh ra mọi chuỗi của ngôn ngữ, trong khi ôtômát lại là cơ chế cho phép đoán nhận một chuỗi bất kỳ có thuộc ngôn ngữ hay không. Về mặt hình thức, cả văn phạm và ôtômát đều là các cách biểu hiện khác nhau của cùng một quan niệm.
Ví dụ 2.4: Cho L là một ngôn ngữ trên bộ chữ cái Σ = {a, b} đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
i) ε ∈ L
ii) Nếu X∈ L thì aXb ∈ L
iii) Không còn chuỗi nào khác thuộc L
Định nghĩa đệ quy trên cho ta một cách sản sinh ra các chuỗi thuộc ngôn ngữ L nhƣ sau : Do (i) nên ta có chuỗi đầu tiên trong L là ε. Xem đó là X thì theo (ii) ta lại có đƣợc chuỗi thứ hai aεb hay ab. Áp dụng lặp đi lặp lại quy tắc (ii) ta lại tìm đƣợc các chuỗi: aabb, rồi lại aaabbb, … Cứ nhƣ thế có thể phát sinh tất cả các chuỗi thuộc ngôn ngữ L. Bằng cách áp dụng (một số hữu hạn) quy tắc phát sinh nhƣ trên, ta có thể phát sinh bất kỳ chuỗi nào trong ngôn ngữ.
Dễ dàng nhận thấy : L = {aibi | i ≥ 0}