Từ một bài toán quen thuộc trong SGK Hình học lớp 9, TS. Lê Quốc Hán đã có những mở rộng thú vị. Con đường mở rộng này cũng là một cách học toán mà các bạn cần rèn luyện. TTT2 chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Minh Hà đã cùng TS. Lê Quốc Hán làm phong phú thêm những mở rộng này.
Trong SGK Hình học lớp 9, trang 38, có bài toán số 14, nội dung như sau :
Bài toán 1 : Cho tam giác đều ABC và điểm M thuộc cung BC (không chứa A) của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng : MA = MB + MC.
Bài toán 1 (BT1) được giải khá đơn giản :
Lời giải : Trên MA lấy điểm N sao cho MN = MB (1) (hình 1) ; do BMN = BCA = 60o nên ΔBMN đều => BN = BM (2).
ΔABC đều nên BA = BC, mặt khác ABC = MBN = 60o => ABN = MBC (3)
Từ (1), (4) => : MN + NA = MB + MC => MA = MB + MC.
BT1 là sự khởi đầu cho rất nhiều mở rộng đẹp và sâu sắc. Do sự hạn chế về chương trình, trong bài viết này, chúng tôi chỉ có thể giới thiệu với bạn đọc những mở rộng ban đầu của BT1. Mặc dù vậy, những mở rộng này, trong chừng mực nào đó, sẽ giúp các bạn trả lời câu hỏi lớn được đặt ra trong chuyên mục của chúng ta : “Học toán ra sao ?”.
Trong BT1, giả thiết tam giác ABC đều tương đương với giả thiết các đường thẳng MA, MB, MC đôi một tạo với nhau một góc 60o. Nhận xét trên cho ta một cách mở rộng BT1.
Bài toán 2 : Cho đường tròn (O) và điểm M nằm trong đường tròn. Các dây A1B1, A2B2, A3B3 đi qua M (A1, B2, A3, B1, A2, B3 theo thứ tự nằm trên (O)) và đôi một tạo với nhau một góc 60o. Chứng minh rằng : MA1 + MA2 + MA3 = MB1 + MB2 + MB3. Vì BT2 được sinh ra từ BT1 nên ta nghĩ ngay tới việc dùng BT1 để giải BT2.
Lời giải : Không mất tính tổng quát, giả sử O nằm trong góc B1MA3 và hơn thế góc OMB1 ≤ OMA3 (hình 2). Dựng đường tròn (w) tâm O, bán kính OM. Đường tròn này theo thứ tự cắt các đoạn A1B1, A2B2, A3B3 tại C1, C2, C3. Dễ thấy M thuộc cung C2C3
(không chứa C1) của (w).
Mặt khác C1C2C3 = C1MC3 = 60o và C1C2C2 = C1MC2 = 60o
=> DC1C2C3 đều. Theo kết quả của BT1, ta có : MC1 = MC2 + MC3 (1)
Lại chú ý rằng, (O) và (w) đồng tâm, ta có : MA1 = C1B1 ; C2A2 = MB2 ; C3A3 = MB3
(2)
Từ (1), (2) dễ dàng => :
MA1 + MA2 + MA3 = MB1 + MB2 + MB3.
Tiếp theo mở rộng trên, BT1 còn có một mở rộng khác cũng khá hấp dẫn. Nó giới thiệu với chúng ta mối quan hệ đẹp giữa ba số MA2, MB2, MC2.
Bài toán 3 : Cho tam giác đều ABC và điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2. (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
Bổ đề 1 : Cho tam giác ABC có góc A = 120o . Khi đó : BC2 = AB2 + AC2 + AB.AC.
Chứng minh : Gọi H là hình chiếu của C trên AB (hình 3). Dễ thấy :
Theo định lí Py-ta-go, ta có : BC2 = BH2 + CH2 (2) Từ (1), (2) => : BC2 = (AB + AH)2 + CH2
BĐ1 đã được chứng minh. Trở lại việc giải BT3.
Không mất tính tổng quát, giả sử M thuộc cung BC (không chứa A) của (O) (hình 4). Theo kết quả đạt được trong BT1, ta có : MA = MB + MC
=> MA2 = MB2 + MC2 + 2MB.MC
=> MA2 + MB2 + MC2 = 2(MB2 + MC2 + MB.MC) (1) Vì tam giác ABC đều nên BMC = 120o .
Theo BĐ1, ta có : MB2 + MC2 + MB.MC = BC2
=> MB2 + MC2 + MB.MC = 3R2 (2)
Từ BT3, tương tự như cách phát triển BT1 thành BT2, chúng ta có thể phát biểu kết quả mở rộng hơn.
THAY ĐỔI KẾT LUẬN CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC