sản phân phối chuẩn và không
ừng
Trong trường hợp này chuỗi lợi suất của 2 tài sản là chuỗi không dừng đặc biệt là phương sai là không thuần nhất. Vì lợi suất tài sản là tuân theo quy luật phân phối chuẩn nên ta cũng xác định VaR lợi suất theo côngthứ
) :
, do đó để tính VaR lợi suất cần ước lượng các th am số của chuỗi lợi
suất dan h ục .
Theo phương pháp Risketris , chúng ta đã biết các giả thiết như trình
bày ở tr ên là tuân theo mô hình A R(1) và tuân theo mô hình GA H(1, 1).
Lấy 750 quan sát đầu tiên tiến hành ước lượng m hình AR( 1) - GAR
1, 1) ; ~ I
Ta sẽ ước lượng mô hình AR(1) - GARCH(1, 1) cho 750 quan sát đầu tiên để tìm kỳ vọng và phương sai cho mỗi tài sản, sau đó tìm kỳ vọng và phương sai cho danh mc, để t ính VaR lợi suất cho thời điểm t = 751. Tại thời điểm k nào đó tiếp theo, cũng tiến hành ước lượng mô hình AR(1) - GARCH(1, 1) cho 750 quan sát ngay trước nó. Như vậy để kiểm tra được 250 giá trị VaR lợi suất tương ứng phải ước lượng 250 mô hình như thế cho mỗi
i sản.
Sử dụng Phần mềm Eviews 5.0 ước lượng mô hình AR(1) - GARCH(1, 1) cho 750 quan sát đầu tiên. Mô hình ước lượng tổn quá v ớ t à
ản i : Ri = C(1) + C( Ri(-1) GARCH = C(3) + C(4)RESID(-1)^2 + C(5)G CH(-1) rong đó : Ri : ; Ri(-1) AR(1); G ARCH : ; GARC H(- : ; RESID(- 1 2 : .
Thực hiện ước lượng mô hình AR(1) - GARCH(1,1) đối với l ợ suất v ới 75 quan s áầu ti â n. Kết quả ước lượng mô hình (Hình 2.10 - Phụ lục
R1 = - 0.003491 + 0.12919 R1(-1)
CH(-1Hy à : = - 000349 1 + 0.1 190* = 6.86e-005 + 0.5 7368* + 0.50 6 8* .
Thực hiện ước lượng mô hình AR(1) - GARCH(1,1) đối với lợi uất v ới
750 uan s át ầ ti â n. Kết quả mô hình (Hình 2.11- Phụ c) :
R2 = - 0.001887 + 0.3056* (-1)
GARCH = 4.86e-005 + 0.3174278*RESID(-1)^2 + 0.674378*GAR (-1) Hy à : = - 000349 1 + 0.1 190* = 6.86e-005 + 0.5 7368* + 0.50 6 8* .
định . Để xác định ta tiến hành đệ quy từ giá trị ban đầu theo công
thức: . Phần mềm Eviews lấy giá trị ban đầu của phương sai theo công thức san mũ sa
y:
Trng đó : e là phần dư từ phương trình trung bì n
và .
Eviews cho phép xuất a chuỗi pầnd ưv à c huỗi phương sai theo cách tiếp cận rên bằng dòg c ng c ụ Make Residual eries , Make GARCH varinc
S r ie s , ; là giá trị cuối cùng tong c ác chỗi nh ậ ợc .
Tại thời điểm t = 751+j, j = 0 249, các giá trị kỳ vọng và phương sai của danh mục cũng xác định theo công thức (28),
29):
;
.
c ụng th ức đệ ur n : = 0.0 0806 . =0.01 18 . COV = 0.0 85.
Tựct ế t nhto á ,ph ương p á R is kmetric s o 0.
Suy ra giá trị kỳ vọng và phương sai cho lợi suất danh mục 2 tà sản:
0 ;
= 0.0 00899 = 0.2 7 .
T ại thời điểm t= 71 (ng ày 23/2/2009), với các mức ý nghĩa : 1% ; 2,5% ; 5% ho c ụng th ức (2a ú : = - 0.06 ; = - 0.058 ; = - 0.04 6.
Mức tổn thất ước lượng tại thời điểm t = 751(ngày 23/2/2009) xác định như s : = - 69.846.184 V ; = - 58.754.730 V ; = - 49.461.890 V ;Gi trị t ổ th ấ th c t ng ày 23/2/2009 = - 44.617.812 D.
Các thời điểm tiếp theo ưc l ượg l i mĩ h ình AR(1) - GARCH(1,) v ới 750 qun s át nga tr ướ thiđ i ể đó, t m c ági tr p ươ ng si và kỳ v ọg c ủa dah m ục thoc ụ n th ức (28), (29), xác định VaR lợi suất của danh mục thoc ụ n th ức(2). Ư ớc lượng VaR cho 249 ngày tiếp theo, tiến hành hậu kiểm VaR trong 250 ngày (từ 23/2/2009 đến 12/2/20
2.3.3-Ước lượng VaR theo mô hình Copula Student t điều kiện với giả thiết lợi suất tài sản không phân phối chu
2.3.3.1-Xác định phân phối biên duyên của hàm Copula
Để xác định hàm phân phối đồng thời, chúng ta phải xác định phân phối biên duyên và dạng của Copula điều kiện. Mô hình xác định phân phối biên duyên thể hiện được các đặc trưng của từng biến. Các chuỗi lợi suất có một mô hình rất tốt để xác định các đặc trưng của biến là mô hình ARMA – GARCH. Trong thực tế, AR( 1) – GARCH(1,1) cho phép xác định phân phối biên duyên :
Với i = 1, 2; và là các nhiễu trắng với trung bình bằng 0 và phương sai không đổi, các phân dư là độc lập và tuân theo một quy luật phân
phối. Điều kiện trong mô hình GARCH: với i = 1, 2. Phần dư
chuẩn hóa , i = 1,2 được xem xét tuân theo quy luật phân
phối chuẩn hoặc phân phối Student.
Ta ký hiệu : GARCH-N là mô hình AR( 1) – GARCH(1,1) có tuân theo phân phối chuẩn.
GARCH-T là mô hình AR( 1) – GARCH(1,1) có tuân theo phân phối Student.
Hàm phân phối của cặp véc tơ được mô hình bởi hàm
Copula. Có rất nhiều dạng Copula cơ bản là Student-t, Plackett, Joe-Clayton đối xứng... Mô hình tổng (mô hình GARCH + dạng Copula) để ước lượng VaR có thể là, ‘GARCH-N + Student-t’, ‘GARCH-N + Plackett, ‘GARCH-N + Joe-Clayton đối xứng’, ‘GARCH-T + Student-t’, ‘GARCH-T + Plackett’, ‘GARCH-T + Joe-Clayton đối xứng’. Quá trình lựa chọn dạng mô hình tổng là khá phức tạp, đòi hỏi nhiều thời gian để xây dựng bộ code xử lý trong MATLAB. Trong đề tài này, để đơn giản ta sẽ lựa chọn mô hình tổng dạng ‘GARCH-T + Student-t’ để tiến hành ước lượng VaR của danh mục hai tài sản. Chúng ta xác định hai mô hình AR( 1) – GARCH(1,1) cho hai chuỗi lợi
Nếu như chúng ta quy đổi , , với
và là các hàm phân phối biên duyên điều kiện (thông tin xác định đến thời điểm t-1). Nếu như mô hình xác định là chính xác thì hai chuỗi quy đổi trên tuân theo quy luật phân phối đều trong đoạn [0,1] (vì và là các hàm phân phối xác suất).
Sử dụng phần mềm MATLAB 7.0 và sử dụng bộ Code hàm
filtReturnsGARCH.m, ước lượng mô hình AR( 1) – GARCH(1,1) và trả về các giá trị phần dư chuẩn hóa và các chuỗi biến quy đổi.
Chúng ta lấy 750 quan sát đầu tiên của 2 chuỗi lợi suất tạo ra biến
returns (750x2).
Kết quả nhận được từ hình 2.13 – Phụ lục ước lượng GARCH-T cho
biến và :
Hàm filtReturnsGARCH.m trả về các kết quả của phần dư chuẩn hóa
residuals, biến quy đổi UnResiduals. Chúng ta quy đổi , , với và là các hàm phân phối biên duyên điều kiện
(thông tin xác định đến thời điểm t-1) và phải phân phối đều trong đoạn [0,1] (Kết quả kiểm định hình 2.14, 2.15 - Phụ lục).
2.3.3.2-Ước lượng tham số Copula
Xác định các tham số của Copula đồng nghĩa với việc xác định được hàm phân phối đồng thời của và tức là xác định được dạng đặc trưng của hàm Copula. Trong đề tài này chúng ta chọn Copula dạng Student-t, các tham số của dạng này là hệ số tương quan tuyến tính và là bậc tự do. Bộ hai tham số này gọi chung là tham số theta.
Sử dụng dạng Copula Student-t và chuỗi các phần dư chuẩn hóa i=1,2 để tìm tham số theta. Thực hiện phần mềm MATLAB 7.0 và sử dụng bộ Code hàm cmlstat.m để tiến hành ước lượng tham số theta.
Hàm cmlstat.m trả về kết quả theta = [ 0.7285 5.2970], trong đó: = 0.7285 và = 5.2970. Giá trị loglikelihood = 263.7706 (xem phụ lục phần Xác định tham số theta).
Như vậy, trong bước này, chúng ta đã xác định được dạng hàm phân phối đông thời của lợi suất hai tài sản, thông qua xác định được tham số theta
của Copula Student-t.
2.3.3.3-Mô phỏng Monte Carlo
Chúng ta sẽ thực hiện mô phỏng 5000 Copula Student t tuân theo dạng trên ( = 0.7285 và = 5.2970) cho bộ chuỗi lợi suất hai tài sản. Từ 750 quan sát ban đầu ta sẽ nhận được 5000 quan sát cho bộ chuỗi lợi suất tài sản. Chúng ta cũng nhận được 5000 quan sát cho chuỗi lợi suất của danh mục theo
công thức : . Giá trị VaR lợi suất được xác định rất dễ dàng.
cho trước, giá trị VaR lợi suất nhận được chính là giá trị ở quan sát thứ 5000x %. Trong đề tài này, chúng ta đi tìm VaR ở các mức ý nghĩa 1% , 2,5% và 5%, thì giá trị VaR tương ứng nhận là các giá trị được tại các quan sát thứ 50, 125 và 250 (xem phụ lục phần Mô phỏng Monte Carlo). Từ bộ số liệu mô phỏng sau khi sắp xếp tăng dần ta dễ dạng xác định VaR lợi suất tại quan sát thứ 751(ngày 23/2/2009) với các mức ý nghĩa :1% ; 2,5% ; 5% :
= - 0.04951 (Quan sát thứ 50).
= - 0.04836 (Quan sát thứ 125).
= - 0.04593 (Quan sát thứ 50).
Mức tổn thất ước lượng tại thời điểm t = 751 với các mức ý nghĩa 1% ; 2,5% ; 5% xác định bởi V = 1.000.000.000 :
= - 49.510.000 VND ;
= - 48.360.000 VND ;
= - 45.930.000 VND ;
Giá trị tổn thất thực tế ngày 23/2/2009 = - 44.617.812 VND.
Ước lượng VaR cho 249 ngày tiếp theo, tiến hành hậu kiểm VaR trong 250 ngày (từ 23/2/2009 đến 12/2/2010). Thao tác thực hiện hoàn toàn tương tự để ước lượng các VaR lợi suất tại các thời điểm tiếp theo. Tại một thời điểm tiến hành lại các thao tác như trên cho 750 quan sát ngay trước nó, ta sẽ kiểm tra được 250 VaR lợi suất tại các thời điểm điểm t = 751+j, tương ứng phải thực hiện lại mô hình này 250 lần. Toàn bộ bộ code này và thao tác lặp sẽ được cung cấp ở phần phụ lục của đề tài.
Hình 2.19: Ước lượng VaR danh mục REE và SAM trong giai đoạn từ 23/2/2009 đến 12/2/2010 dựng phương pháp ước lượng không chệch
Hình 2.20: Ước lượng VaR danh mục REE và SAM trong giai đoạn từ 23/2/2009 đến 12/2/2010 dựng phương pháp Riskmetrics
Hình 2.21: Ước lượng VaR danh mục REE và SAM trong giai đoạn từ 23/2/2009 đến 12/2/2010 dựng Copula Student t
Trờn đõy chúng ta đã trình bày 3 phương pháp ước lượng VaR theo hướng tiếp cận từ các giả thiết của chuỗi lợi suất tài sản. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ phân tích các kết quả nhận được từ 3 phương pháp trờn, tiến hành so sánh với giỏ trị tổn thất thực tế, và so sánh 3 phương pháp này với nhau, nhằm mục đích chỉ ra được phương pháp Copula điều kiện tỏ ra chính xác hơn cả khi chuỗi lợi suất khụng tuân theo quy luật phân phối chuẩn.