- Độ dài không gấp của một bước sóng
7.1.Phương pháp sai phân hữu hạn
7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn
7.1.Phương pháp sai phân hữu hạn
Là phương pháp số gần đúng để giải các phương trình vi phân. Bằng cách thay các đạo hàm trong pt vi phân bằng tỉ số các lượng hữu hạn, nên việc giải pt vi phân được thay thế bằng việc giải các pt đại số. Như vậy ta đã thay việc tìm các ẩn số dưới dạng hàm giải tích bằng việc tìm giá trị của chúng tại một số hữu hạn các điểm.
Bản chất pp sai phân hữu hạn dựa trên:
• Chia mặt trung bình thành các lưới hình chữ nhật, hình tam giác, hoặc hình khác tùy theo dạng hình học của tấm – gọi là lưới sai phân hữu hạn và các điểm nút.
• Phương trình vi phân trong miền xác định tấm thay thế bằng các pt sai phân hữu hạn tại các mắt lưới bằng các biểu thức sai phân
• Điều kiện biên thể hiện qua các biểu thức sai phân tại các nút lưới nằm trên biên
Đạo hàm của hàm f(x) tại điểm xi định nghĩa bởi:
(7.1)
với: Có thể viết:
(7.2)
Biểu thức (7.2) gọi là xấp xỉ thứ nhất trước và sau của đạo hàm bậc nhất hàm f(x) tại xi
Thực tế còn sử dụng: (7.3)
Biểu thức (7.2) và (7.3) gọi là toán tử sai phân của đạo hàm bậc nhất, tương tự với các đạo hàm bậc cao:
7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn
(7.4)
(7.5)
(7.6)
Các hệ số của toán tử sai phân đối với hàm một biến f(x) thể hiện trên hình vẽ (b)
Sử dụng xấp xỉ bậc hai, đạo hàm tại điểm bất kỳ trên biên cong có thể nội suy qua các điểm trước và sau của lưới sai phân:
Giả sử có hàm hai biến F(x,y), trong trường hợp này lưới được chia thành các bước sai phân Dx, Dy theo hai phương x, y.
Chia lưới với:
Các đạo hàm của F(x,y) được xấp xỉ bởi các toán tử sai phân (7.3) – (7.5)
(7.7)
7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn
Chẳng hạn đối với nút trung tâm “k”, ta có:
(7.8)
Từ (6.8), ta tính được toán tử Laplace của hàm F:
(7.9)
Do vậy toán tử Laplace kép của hàm F: