S NCP= 4CAN = 4 x 2 x ABC
2.3. Bài toán diện tích dùng tỉ số.
Trong các bài toán diện tích ở Tiểu học, dạng toán diện tích có dùng tỉ số chiếm tỉ lệ khá lớn. Các tỉ số này xuất hiện ở đề bài, có thể là tỉ số các số đo đoạn thẳng hoặc là tỉ số các số đo diện tích. Các tỉ số này có thể có thể là cái đã cho của bài toán cũng có thể là cái cần tìm.
Các bài toán ở dạng này thờng dựavào các tính chất sau đây (ở đây đề cập đến trờng hợp cụ thể là các tam giác, các đa giác khác áp dụng tơng tự):
1. Nếu số đo cạnh đáy không đổi thì số đo diện tích và số đo đờng cao của tam giác là hai đại lợng tỉ lệ thuận.
2. Nếu số đo đờng cao không đổi thì số đo diện tích và số đo cạnh đáy của tam giác là hai đại lợng tỉ lệ thuận.
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH 28
K HA C B M N 2cm 2cm 24cm2
3. Nếu số đo diện tích không đổi thì số đo đờng cao và số đo cạnh đáy của tam giác là hai đại lợng tỉ lệ nghịch.
Ví dụ 1:
Trong hình bên, diện tích của hình tứ giác ABED lớn hơn diện tích của hình tam giác BEC là 13,6 cm2. Tính diện tích của hình tứ giác ABCD, biết tỉ số diện tích của hình tam giác BEC và diện tích hình tứ giác ABED là 2
3.
Lời giải: Theo đề bài ta có sơ đồ nh sau:
Diện tích hình tam giác: Diện tích hình tứ giác:
Theo sơ đồ trên, diện tích hình tam giác BEC là hai phần, diện tích hình tứ giác ABED là 3 phần nh thế. Mỗi phần là 13,6 cm2.
Diện tích tam giác BEC là: 13,6 x 2 = 27,2 (cm2) Diện tích hình tứ giác ABED là:
13,6 x 3 = 40,8 (cm2) Diện tích hình tứ giác ABCD là:
40,8 + 27,2 = 68(cm2)
Nhận xét:
Bài toán này là bài toán sử dụng tỉ số, thực chất, nó là bài toán tìm hai số khi biết hiệu (13,6 cm2) và tỉ số (2
3).
Ngoài cách giải trên có thể trình bày lời giải của bài toán gọn hơn nữa nh sau:
Nếu ta coi diện tích hình tam giác BEC là hai phần bằng nhau thì diện tích hình tứ giác ABED sẽ gồm ba phần nh thế. Khi đó, vì diện tích hình tứ giác ABCD bẳng tổng diện tích hai hình trên nên nó sẽ gồm 5 phần bằng nhau và mỗi phần là 13,6 cm2 .
Vậy diện tích hình tứ giác ABCD là: 13,6 x 5 = 68 (cm2) 13.6 cm2 A B D E C
Đáp số: 68 (cm2)
Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 48cm2. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho EC 1ED
2
= . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM 2BC
5
= .
a. So sánh diện tích hai tam giác ABM và CEM b. Tính diện tích tam giác AEM.
Lời giải: a. + Nối A với C ta có: SABC = SADC = 1SABCD
2Do đó , 2
Do đó , 2
ABC
S =48 : 2 24(cm )=
Ta có SABM 2SABC
5
= (vì hai tam giác đó có chung chiều cao AB và có đáy BM 2BC 5 = ) Do đó: 2 ABM 2 S 24x 9,6(cm ) 5 = = + Nối B với D, ta có: ABD BDC 1 ABCD S S S 2 = = Do đó: SBDC =48 : 2 24(cm )= 2 + Nối M với D, ta có: SCDM 3SBDC 5
= (vì hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ D xuống BC và hai cạnh đáy MC 3BC
5= ) = ) 2 CDM S =24 : 5x3 14,4(cm )= Mặt khác ta có:
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH 30
B M C
E
CEM CDM1 1
S S
3
= (vì hai tam giác này có chung chiều cao MC và có đáy EC 1DC
3
= )
Do đó: SCEM = 14,4 : 3 = 4,8 (cm2) Ta có SABM : SCEM = 9,6 : 4,8 = 2 (lần) Vậy: SABM = 2SCEM
b. Vì SACD = 1SABCD
2 nên SADC = 48 : 2 = 24 (cm2) Ta có: SADE = 2SADC
3 (vì có chung chiều cao AD và có đáy ED = 2 DC 3 ) Do đó SADE = 24 : 3 x 2 = 16 (cm2)
Vậy SAEM = 48 - (9,6 + 4,8 + 16) = 17,6 (cm2)
Đáp số: a) SABM = 2SCEM b) SAEM = 17,6 cm2
Nhận xét: Trong ví dụ 2, đề bài đã cho sẵn hai tỉ số là EC = 1ED 2 , BM = 2
5BC. Để giải quyết đợc bài toán ta cần phải biết sử dụng các tỉ số này một cách thích hợp, đa các tỉ số này vào các cặp tam giác cho phù hợp. Mặt khác, cần thiết lập đợc mối quan hệ giữa diện tích các tam giác cần tìm với các tam giác có diện tích bằng 1
2 diện tích hình chữ nhật ABCD khi nối A với C, B với D và sử dụng tính chất 2 đã nêu ở trên
Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD có đáy CD bằng hai lần đáy AB.
a. Tính chiều cao của hình thang, biết diện tích của hình thang bằng 241,5 cm2, AB = 11,5 cm.
b. Kéo dài AB về phía B một đoạn BN, nối N với C sao cho diện tích tam giác BNC bằng diện tích hình thang ABCD. So sánh BN với AB.
c. Trên AC lấy điểm O sao cho AO = OC, NO cắt BC tại M. So sánh diện tích tam giác ABO với diện tích tam giác MOC.
Lời giải:
a. Độ dài đáy CD của hình thang ABCD là: 11,5 x 2 = 23 (cm)
Tổng độ dài hai đáy của hình thang ABCD là: 11,5 + 23 = 34,5 (cm)
Chiều cao AH của hình thang ABCD là: 241,5 x 2 : 34,5 = 14 (cm) b. Theo đầu bài ta có:
SBCN = SABCD = 241,5 (cm2)
Chiều cao của hình thang ABCD
cũng là chiều cao của tam giác BNC
nên ta có: CK = AH = 14 (cm)
Độ dài đáy BN là: 241,5 x 2 : 14 = 34,5 (cm)
Tỉ số độ dài BN và AB là: 34,5 : 11,5 = 3 (lần)
Vậy BN gấp 3 lần AB
c. + Nối AM ta có:
* SACB = 1SBNC
3 (1) (vì có chung chiều
cao hạ từ C xuống AN và AB = 1
3BN)
* SAMB = 1SBMN
3 (vì có chung chiều cao hạ từ M xuống AN và AB =
13BN) 3BN) Do đó: SACB - SAMB = 1
3SBNC - 1
3SBMN. Hay SACB - SAMB = 1
